不可約元素

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不可約元素抽象代數中的名詞,是指在整环中一個非零、非单位的元素,而且也無法表示為二個非單位元素的乘積。

不可約元素和質元素的關係[编辑]

不可約元素和質元素不同,交换环內的非零、非单位元素為質元素,表示若在交換環內存在,使得,則必定有一個成立。

整环中,每一個質元素都是不可約元素[1][2],但一般而言,不可約元素不會是質元素。只有在唯一分解整環(或範圍更廣的GCD環)中的不可約元素才一定是質元素。

再者,一個用質元素產生的理想素理想,但由不可約元素產生的理想一般不會是不可約理想英语irreducible ideal。不過,若為GCD環,且環中的不可約元素,則產生的理想會是素理想[3]

舉例[编辑]

二次整數環英语quadratic integer ring中,可以用範數證明 3 是不可約元素。不過,3 不是質元素,因為

無法整除 ,也無法整除 [4]

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 考慮為一個可約的質元素:,則。假如則可得。因為為整環,因此可得。因此為單位元素,而是不可約元素。
  2. ^ Sharpe (1987) p.54
  3. ^ planetmath Irreducible Ideal. (原始内容存档于2010-06-20). 
  4. ^ William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9.