不可約元素
外觀
不可約元素是抽象代數中的名詞,是指在整環中一個非零、非單位的元素,而且也無法表示為二個非單位元素的乘積。
不可約元素和質元素的關係
[編輯]不可約元素和質元素不同,交換環內的非零、非單位元素為質元素,表示若在交換環內存在及,使得,則或必定有一個成立。
在整環中,每一個質元素都是不可約元素[1][2],但一般而言,不可約元素不會是質元素。只有在唯一分解整環(或範圍更廣的GCD環)中的不可約元素才一定是質元素。
再者,一個用質元素產生的理想為素理想,但由不可約元素產生的理想一般不會是不可約理想。不過,若為GCD環,且為環中的不可約元素,則產生的理想會是素理想[3]。
舉例
[編輯]在二次整數環中,可以用範數證明 3 是不可約元素。不過,3 不是質元素,因為
但 無法整除 ,也無法整除 。[4]
相關條目
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ 考慮為一個可約的質元素:,則或。假如則可得。因為為整環,因此可得。因此為單位元素,而是不可約元素。
- ^ Sharpe (1987) p.54
- ^ planetmath Irreducible Ideal. [2015-08-25]. (原始內容存檔於2010-06-20).
- ^ William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9.
- Sharpe, David. Rings and factorization. Cambridge University Press. 1987. ISBN 0-521-33718-6. Zbl 0674.13008.
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