冪零元
外觀
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在抽象代數中,某個環R的一個元素x是一個冪零元,當存在一個正整數n,使得xn等於加法中的零元素。
例子
[編輯]- 是一個冪零元,因為A3 = 0。
- 在商環Z/9Z中,同餘類3是一個冪零元,因為32是同餘類0。
- 如果在不交換的環R中,a,b滿足ab=0。那麼元素c=ba(如果非零的話)是一個冪零元,因為c2=(ba)2=b(ab)a=0。在矩陣中的一個例子是:
- 於是有
性質
[編輯]在一個非平凡的交換環中,冪零元不可能是乘法的可逆元。每個冪零元顯然都是零因子。
在交換環中,所有的冪零元組成一個理想,稱作這個環的詣零根。每個素理想都包含所有的冪零元,實際上,所有素理想的交集就是環的詣零根。
如果x是冪零元,那麼1 − x就是一個可逆元,因為由xn = 0 可得
- (1 − x) (1 + x + x2 + ... + xn−1) = 1 − xn = 1。
更一般地,在滿足交換律的情況下,可逆元與冪零元之和依然是一個可逆元。
參見
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