符号函数

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符號函數
Signum function.png
性質
奇偶性 奇函數
定義域 (-∞,∞)
到達域 \operatorname{sgn}x \in \{-1,0,1\}
周期 N/A
特定值
當x=0 0
當x=+∞ 1
當x=-∞ -1
最大值 1
最小值 -1
其他性質
漸近綫 N/A
0
臨界點 N/A
拐點 N/A
不動點 0

符號函數Sign function,簡稱sgn)是一個邏輯函數,用以判斷實數的正號。為避免和英文讀音相似的正弦函數(sine)混淆,它亦稱為Signum function。其定義為:

\sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
-1 & : & x  0 \end{matrix} \right.

性质[编辑]

艾佛森括號定義:

\sgn x = -[x  0]

任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積:

x=(\sgn x)|x|

若x不為零,可以由上式得出符號函數的另一個定義:

 \sgn x = {x \over |x|}

符號函數是絕對值函數的導數:

 \frac{d|x|}{dx} = \frac{x}{|x|} = \sgn x

除了在0,符號函數可微分,其導數為0。透過一般化微分概念,可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍:

 {d \ \sgn x \over dx} = 2 \delta (x)

它和單位步階函數的關係:

 \sgn x = 2 H_{1/2}(x) - 1

推广到复数[编辑]

符號函數可以推廣到複數:對於任意z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}

\sgn z = \frac z{|z|}

对于任何z\mathbb{C},除了z = 0以外。复数z的符号函数,是复平面上中心为原点单位圆上距离z最近的点。那么,对于z ≠ 0,有:

\sgn z = \exp(i\arg z)\,,

其中arg表示辐角

符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数,定义为:


 \operatorname{csgn}(z)= \begin{cases}
 1 & \text{if } \Re(z) > 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\
 -1 & \text{if } \Re(z) < 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\
 0 & \text{if } \Re(z)=\Im(z)=0. 
\end{cases}

我们有(除了z = 0以外):

\operatorname{csgn}(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}.