虛數單位

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虛數單位 複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數。

數學物理工程學裏,虛數單位標記為 ,在電機工程和相關領域中則標記為,這是為了避免與電流(記為)混淆。虛數單位的發明使實數系統 能夠延伸至複數系統 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式 就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

定義[編輯]

虛數單位 定義為二次方程式 的兩個解答中的一個解答。這方程式又可等價表達為:

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號 。很重要的一點是, 是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為 ,但是-1不等於1。
但請注意: 成立的條件有a,b不能同時為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設 是一個未知數,然後依照 的定義,替代任何 的出現為 的更高整數冪數也可以替代為 ,或 ,根據下述方程式:

一般地,有以下的公式:

其中mod 4表示被4除的餘數

i和−i[編輯]

方程有兩個不同的解,它們都是有效的,且互為共軛虛數倒數。更加確切地,一旦固定了方程的一個解,那麼−(不等於)也是一個解,由於這個方程是的唯一的定義,因此這個定義表面上有歧義。然而,只要把其中一個解選定,並固定為,那麼實際上是沒有歧義的。這是因為,雖然−在數量上不是相等的(它們是一對共軛虛數),但是和−之間沒有質量上的區別(−1和+1就不是這樣的)。如果所有的數學書和出版物都把虛數或複數中的+換成−,而把−換成−(−) = +,那麼所有的事實和定理都依然是正確的。

正當的使用[編輯]

虛數單位有時記為。但是,使用這種記法時需要非常謹慎,這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立:

   (不正確)
   (不正確)
   (不正確)

公式僅對於非負的實數才成立。

為了避免這種錯誤,儘量不要用平方根來表示虛數。例如,我們不應使用,而應使用

i的運算[編輯]

虛數單位 的平方根在複平面的位置。

許多實數的運算都可以推廣到 ,例如平方根對數三角函數

i平方根為:

[1]

其解法為先假設兩實數x及y,使得(x + iy)2 = i,求解x,y[2]

這是因為:

以下運算均為與有關的多值函數英語Multivalued-function,在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

一個數的次方為:

一個數的次方根為:

利用歐拉公式

其中

最小的解(k = 0)是e−π/2或近似值0.207879576...[3]

代表整數集,代入不同的k值,可計算出無限多的解。

以i為底的對數為:

餘弦是一個實數

正弦純虛數

程式語言[編輯]

  • Matlab虛數單位的表示方法為ij,但ijfor迴圈可以有其他用途。
  • Maple,必須啟用虛數功能,並選擇用i還是j表示虛數單位

註解[編輯]

  1. ^ Maple中,
  2. ^ (University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)
  3. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部連結[編輯]