虛數單位

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虛數單位 複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數。
各種各樣的
基本

NumberSetinC.svg

正數
自然數
正整數
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數
代數數
實數
複數
高斯整數

負數
整數
負整數
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數

延伸

雙複數
四元數
共四元數
八元數
超數
上超實數

超複數
十六元數
複四元數
大實數
超實數
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

數學物理工程學裏,虛數單位標記為 ,在電機工程和相關領域中則標記為,這是為了避免與電流(記為)混淆。虛數單位的發明使實數系統 能夠延伸至複數系統 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式 就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

定義[編輯]

虛數單位 定義為二次方程式 的兩個解答中的一個解答。這方程式又可等價表達為:

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號 。很重要的一點是, 是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為 ,但是-1不等於1。
但請注意: 成立的條件有a,b不能同時為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設 是一個未知數,然後依照 的定義,替代任何 的出現為 的更高整數冪數也可以替代為 ,或 ,根據下述方程式:

一般地,有以下的公式:

其中mod 4表示被4除的餘數

i 和 −i[編輯]

方程有兩個不同的解,它們都是有效的,且互為共軛虛數倒數。更加確切地,一旦固定了方程的一個解,那麼−(不等於)也是一個解,由於這個方程是的唯一的定義,因此這個定義表面上有歧義。然而,只要把其中一個解選定,並固定為,那麼實際上是沒有歧義的。這是因為,雖然−在數量上不是相等的(它們是一對共軛虛數),但是和−之間沒有質量上的區別(−1和+1就不是這樣的)。如果所有的數學書和出版物都把虛數或複數中的+換成−,而把−換成,那麼所有的事實和定理都依然是正確的。

正當的使用[編輯]

虛數單位有時記為。但是,使用這種記法時需要非常謹慎,這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立:

   (不正確)
   (不正確)
   (不正確)

公式僅對於非負的實數才成立。

為了避免這種錯誤,儘量不要用平方根來表示虛數。例如,我們不應使用,而應使用

i的運算[編輯]

虛數單位 的平方根在複平面的位置。

許多實數的運算都可以推廣到 ,例如平方根對數三角函數

i平方根為:

[1]

其解法為先假設兩實數x及y,使得(x + iy)2 = i,求解x,y[2]

這是因為:

以下運算均為與有關的多值函數,在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

一個數的次方為:

一個數的次方根為:

利用歐拉公式

其中

最小的解(k = 0)是e−π/2或近似值0.207879576...[3]

代表整數集,代入不同的k值,可計算出無限多的解。

以i為底的對數為:

餘弦是一個實數

正弦純虛數

程式語言[編輯]

註解[編輯]

  1. ^ MapleMathematica中,
  2. ^ (University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)
  3. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部連結[編輯]