单位根

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复平面上的三次单位根

数学上,次單位根次冪為1的複數。它們位於複平面的单位圆上,構成n邊形頂點,其中一個頂點是1。

定义[编辑]

这方程的複數根 次單位根

單位的 次根有 個:

本原根[编辑]

單位的 次根以乘法構成循環群。它的生成元是 本原單位根。次本原單位根是,其中互質次本原單位根數目為歐拉函數

例子[编辑]

一次單位根有一個

二次單位根有兩個:,只有是本原根。

三次单位根

其中虚數單位;除外都是本原根。

四次單位根是

其中是本原根。

和式[编辑]

不小於时,次單位根總和為。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點,而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理,由分圓方程的項係數為零得出。