单位根

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复平面上的三次单位根

数学上,n \,次單位根n\,次冪為1的複數。它們位於複平面的单位圆上,構成n邊形頂點,其中一個頂點是1。

定义[编辑]

z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots  )

这方程的複數根 z \,n \,次單位根

單位的 n \,次根有 n \,個:

e^{\frac{2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)

本原根[编辑]

單位的 n \,次根以乘法構成n階循環群。它的生成元是 n \,本原單位根。n \,次本原單位根是e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} },其中k\,n\,互質n\,次本原單位根數目為歐拉函數\varphi (n)

例子[编辑]

一次單位根有一個1 \,

二次單位根有兩個:+1\,-1\,,只有-1\,是本原根。

三次单位根

\left\{ 1, \frac{-1+ \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \right\} ,

其中 {\mathrm{i}} \,虚數單位;除1\,外都是本原根。

四次單位根是

\left\{ 1, +{\mathrm{i}}, -1, -{\mathrm{i}} \right\} ,

其中+{\mathrm{i}} \,-{\mathrm{i}}\,是本原根。

和式[编辑]

n\,不小於2\,时,n\,次單位根總和為0\,。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數

\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} } = \frac{e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{n}} i}{n} } - 1}{e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} } - 1} = \frac{1-1}{e^{\frac{ 2 \pi k {\mathrm{i}} }{n} } - 1} = 0

第二個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點,而從對稱性知這多邊形的重心在原點。

還有一個證法利用關於方程根與係數的韋達定理,由分圓方程的x^{n-1}\,項係數為零得出。