冪級數

藍色曲線是指數函數，紅色曲線是指數函數的麥克勞林展開的前n+1項和的曲線

在數學中，冪級數（power series）是一類形式簡單而應用廣泛的函數級數，變量可以是一個或多個（見「多元冪級數」一節）。單變量的冪級數形式為：

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}$

$=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$

其中的c和$a_{0},a_{1},a_{2}\cdots a_{n}\cdots$是常數。$a_{0},a_{1},a_{2}\cdots a_{n}\cdots$稱為冪級數的係數。冪級數中的每一項都是一個冪函數，冪次為非負整數。冪級數的形式很像多項式，在很多方面有類似的性質，可以被看成是「無窮次的多項式」。

如果把$(x-c)$看成一項，那麼冪級數可以化簡為$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$的形式。後者被稱為冪級數的標準形式。一個標準形式的冪級數完全由它的係數來決定。

將一個函數寫成冪級數$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}$的形式稱為將函數在c處展開成冪級數。不是每個函數都可以展開成冪級數。

冪級數是分析學研究的重點之一，然而在組合數學中，冪級數也佔有一席之地。作為母函數，由冪級數概念發展出來的形式冪級數是許多組合恆等式的來源。在電子工程學中，冪級數則被稱為Z-變換。實數的小數記法也可以被看做冪級數的一種，只不過這裏的x被固定為${\frac {1}{10}}$。在p-進數中則可以見到x被固定為$10$的冪級數。

例子

多項式可以看做係數從某一項開始全是零的冪級數，例如多項式$f(x)=x^{2}+2x+3$可以寫成標準形式的冪級數：

$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots$

也可以寫成（$c=1$）：

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots$

實際上，多項式可以寫成在任意c附近展開的冪級數。就這個意義上說，冪級數是多項式的推廣。

等比級數的公式給出了對$|x|<1$，有

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots$，是冪級數中基本而又重要的一類。同樣重要的還有指數的冪級數展開：

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$

以及正弦函數（對所有實數x成立）：

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

這些冪級數都屬於泰勒級數。

冪級數里不包括負的冪次。例如$1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$就不是冪級數（它是一個洛朗級數）。同樣的，冪次為分數的級數也不是冪級數。係數$a_{n}$必須是和x無關，比如$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,$就不是一個冪級數。

斂散性

作為級數的一種，冪級數的斂散性也是研究冪級數的重點之一。對同一個冪級數，當變量x在複數中變化時，冪級數可能收斂，也可能發散。作為判斷的依據，有：

阿貝爾引理：給定一個冪級數$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$，如果對實數$r_{0}>0$，數列$(|a_{n}|r_{0}^{n})_{n\geq 0}$ 有界，那麼對任意複數$|x|<r_{0}$，$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$絕對收斂。

證明：

如果$|x|<r_{0}$，那麼由於數列$(|a_{n}|r_{0}^{n})_{n\geq 0}$ 有界，存在正實數M使得對任意的n，總有$0\leq |a_{n}|r_{0}^{n}\leq M$。所以：

$\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}\,x^{n}|=\sum _{n=1}^{\infty }\left(|a_{n}|\,r_{0}^{n}\right)\cdot \left({\frac {|x|}{r_{0}}}\right)^{n}$

$\ \ \leq \sum _{n=0}^{\infty }M\cdot \left({\frac {|x|}{r_{0}}}\right)^{n}$

$\ \ =M\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {|x|}{r_{0}}}\right)^{n}$

正數比值${\frac {|x|}{r_{0}}}$嚴格小於1，因此上面的等比級數收斂，於是$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$絕對收斂。

按照引理，使得冪級數$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$收斂的複數的集合總是某個以原點為中心的圓（不包括邊界），稱為收斂圓盤，其邊界稱為收斂圓。具體來說，就是：

1. 要麼對所有的非零複數，$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$都發散；
2. 要麼存在一個正常數（包括正無窮）$R$，使得當$|x|<R$時，$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$絕對收斂，當$|x|>R$時，$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$發散。

這個可以用來辨別冪級數是否收斂的常數$R$被稱為冪級數的收斂半徑，當屬於第一種情況時，規定收斂半徑為零。

按照定義，對一個冪級數$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$，當$|x|<R$（在收斂圓盤內）時（如果有的話），冪級數必然收斂；而當$|x|>R$時（如果有的話），冪級數必然發散。但是如果$|x|=R$（在收斂圓上）的話，這時冪級數的斂散性是無從判斷的，只能具體分析。

根據達朗貝爾審斂法，收斂半徑$R$滿足：如果冪級數$\sum a_{n}x^{n}$滿足$\lim _{n\to \infty }|{a_{n+1} \over a_{n}}|=\rho$，則：

$\rho$是正實數時，$R={1 \over \rho }$。

$\rho =0$時，$R=\infty$。

$\rho =\infty$時，$R=0$。

根據根值審斂法，則有柯西-阿達馬公式：

$R=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$

或者${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}$。

冪級數的運算

形式上，冪級數的加減法運算是將相應係數進行加減。

$(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots )\pm (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}+\cdots )=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}+\cdots$

兩個冪級數的乘積基於所謂的柯西乘積：

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)$

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}$。

各種運算後，得到的冪級數的收斂半徑是兩個冪級數中的較小者。

一致收斂性

對一個收斂半徑為R的冪級數$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$，可以證明，冪級數在收斂圓盤上一致收斂。這個性質稱為內閉一致收斂。因此，考慮冪級數函數

$f:(-R,R)\longrightarrow \mathbb {R}$

$.\ \ \ \ \ \ x\longmapsto \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

它在收斂區間(-R,R)上是連續函數。

冪級數函數的求導和積分

可以證明，冪級數函數f在收斂區間上無窮次可導，並且可積。此外，由於冪級數函數f在收斂圓盤內一致收斂，可以進行逐項求導和積分，而且其導函數和積分函數都是在收斂區間上連續的冪級數函數。它們的收斂半徑等於$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$的收斂半徑R。具體形式為：

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}nx^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)x^{n}$

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+k$

函數的冪級數展開

鑑於冪級數函數的良好分析性質以及對之深入的研究，如能將要研究的函數以冪級數形式來表示，將有助於對其性質的研究。然而，不是所有的函數都能展開為冪級數。一個函數在一點c附近可展（可以展開為冪級數），若且唯若存在正實數R>0，使得在複平面中以c為圓心以R為半徑的圓D(c,R)內（不包括邊界）有：

$\forall z\in D(c,R),\qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}a_{n}(z-c)^{n}$

其中$a_{n}$為確定的常數。

如果一個函數在某處可展，那麼它在這點無窮可導（$C^{\infty }$），並且在這點附近的展開式是唯一的。

$\forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}={f^{(n)}(c) \over {n!}}$

即是在這點的泰勒展開的第n項的值。這時展開得到的冪級數稱為函數f在c點的泰勒級數。

函數的可展性

對於一般的無窮可導函數$f$，也可以寫出冪級數$\sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}$，但即使這個冪級數收斂，其值也不一定等於$f$。例如函數$f$：

當x>0時，$f(x)=e^{-1/x^{2}}$

當$x\leq 0$時，$f(x)=0$

可以證明$f$無窮可導，並且在0處的每階導數都是零，因此相應的冪級數$\sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(0) \over {n!}}(x)^{n}$恆等於0，不等於$f$。

函數可以展開成冪級數的充要條件是其泰勒展開的餘項趨於零： $R_{n}(x)=f(x)-\sum _{n=0}^{n}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}\rightarrow 0$，

一個更常用到的充分條件是： 如果存在正實數r，使得$f$在區間$(c-r,c+r)$上無窮可導，並且存在正數M使得對任意的n，任意的$x\in (c-r,c+r)$都有

$|f^{n}(x)|\leq M^{n}$，那麼$f$可以在c附近展開成冪級數：

$\forall x\in (c-r,c+r),\ \ f(x)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}$。

常見函數的冪級數展開

以下是一些常見函數的冪級數展開。運用這些展開可以得到一些重要的恆等式。

1. $\forall x\in \mathbb {C} ,\,e^{x}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}}.$
   
   
2. $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\cos x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
   
   
3. $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\sin x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
   
   
4. $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {ch} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.$
   
   
5. $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {sh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.$
   
   
6. $\forall x\in D(0,1),\,{1 \over {1-x}}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{x^{n}}.$
   
   
7. $\forall x\in (-1,1],\,\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}(-1)^{n+1}{x^{n} \over {n}}.$
   
   
8. $\forall x\in [-1,1],\,\arctan \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;$，特別地，$\pi =4\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{2\,n+1}}$。
   
   
9. $\forall x\in \,(-1,1),\ \forall \alpha \,\not \in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}.$
   
   
10. $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\forall \alpha \,\in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}=\sum _{n=0}^{\alpha }{{\alpha \choose n}\,x^{n}}.$
    
    
11. $\forall x\in (-1,1),\,\operatorname {artanh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.$
    
    
12. $\forall x\in (-1,1),\,\arcsin \,x=x+\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}$
    
    
13. $\forall x\in (-1,1),\,\operatorname {arsinh} \,x=x+\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,(-1)^{n}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}$
    
    
14. $\forall x\in \,\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right),\ \tan x={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\left({\frac {x}{\pi }}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)$，其中$\forall p>1,\,\zeta (p)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,{\frac {1}{n^{p}}}$

冪級數與解析函數

主條目：解析函數

局部上由收斂冪級數給出的函數叫做解析函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數。所有的冪級數函數在其收斂圓盤內都是解析函數，並且在所有點上都可展。根據零點孤立原理，解析函數的零點必然是孤立點。在複分析中，所有的全純函數（即複可微函數）都是無窮可微函數，並是復解析函數，這在實分析中則不然。

形式冪級數

主條目：形式冪級數

在抽象代數中，冪級數研究的重點是其作為一個半環的代數性質。冪級數的係數域是實數或複數或其它的域不再重要，斂散性也不再討論。這樣抽離出的代數概念被稱為形式冪級數。形式冪級數在組合代數有重要用處，例如作為母函數而運用在許多組合恆等式的推導中。

多元冪級數

冪級數概念在多元微積分學中的一個推廣是多元冪級數：

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},$

其中j = (j₁, ..., j_n)是一個係數為非負整數的向量。係數a_(j1,...,jn)通常是實數或複數。c = (c₁, ..., c_n)和變量x = (x₁, ..., x_n)是實數或複數係數的向量。在多重下標的表示法中，則有

$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.$

參見

• 泰勒級數
• 解析函數
• 阿貝爾定理
• 零點孤立原理

參考文獻

• 冪級數介紹
• 冪級數展開 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 冪級數與泰勒展開
• Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes
• Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal
• John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering，第5版, 2006