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微擾理論 (量子力學)

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量子力學微擾理論(perturbation theory)引用一些數學微擾理論的近似方法於量子力學。當遇到比較複雜的量子系統時,這些方法試著將複雜的量子系統簡單化或理想化,變成為有精確解的量子系統,再應用理想化的量子系統的精確解,來解析複雜的量子系統。基本的點子是,從一個簡單的量子系統開始,這簡單的系統必須有精確解,在這簡單系統的哈密頓量裏,加上一個很弱的微擾,變成了較複雜系統的哈密頓量。假若這微擾不是很大,複雜系統的許多物理性質(例如,能級量子態)可以表達為簡單系統的物理性質加上一些修正。這樣,從研究比較簡單的量子系統所得到的知識,可以進而研究比較複雜的量子系統。

微擾理論可以分為兩類,不含時微擾理論含時微擾理論。不含時微擾理論的微擾哈密頓量不含時間;而含時微擾理論的微擾哈密頓量含時間,詳見含時微擾理論。本篇文章只講述不含時微擾理論。此後凡提到微擾理論,皆指不含時微擾理論。

微擾理論應用[编辑]

微擾理論是量子力學的一個重要的工具。因為,物理學家發覺,甚至對於中等複雜度的哈密頓量,也很難找到其薛丁格方程式的精確解。物理學家所知道的就只有幾個量子模型有精確解,像氫原子量子諧振子、與盒中粒子。這些量子模型都太過理想化,無法適當地描述大多數的量子系統。應用微擾理論,可以將這些理想的量子模型的精確解,用來生成一系列更複雜的量子系統的解答。例如,通過添加一個微擾的電位於氫原子的哈密頓量,可以計算在電場的作用下,氫原子譜線產生的微小偏移(參閱斯塔克效應)。

應用微擾理論而得到的解答並不是精確解,但是,這方法可以計算出相當準確的解答。假若使展開的參數變得非常的小,得到的解答會很準確。通常,解答是用有限數目的項目的冪級數來表達。

歷史[编辑]

埃爾溫·薛丁格在創立了奠定基石的量子波力學理論後,經過短短一段時間,於 1926年,他又在另一篇論文裏,發表了微擾理論[1]。在這篇論文裏,薛丁格提到約翰·斯特拉特,第三代瑞利男爵先前的研究[2]。瑞利勳爵曾經在弦的諧振動的微擾研究,得到突破性的結果。現今,微擾理論時常又被稱為瑞利-薛丁格微擾理論

一階修正[编辑]

設想一個不含時間的零微擾哈密頓量,有已知的本徵值能級和已知的本徵態。它們的關係可以用不含時薛丁格方程式表達為

為了簡易起見,假設能級離散的。上標標記所有零微擾系統的物理量量子態

現在添加一個微擾於哈密頓量。讓微擾代表一個很微弱的物理擾動,像外場產生的位能。設定為一個無因次的參數。它的值可以從變化到。含微擾哈密頓量表達為

含微擾哈密頓量的能級和本徵態由薛丁格方程式給出:

在這裏,主要目標是用零微擾能級和零微擾量子態表達出。假若微擾足夠的微弱,則可以將它們寫為冪級數

其中,

時,分別約化為零微擾值,級數的第一個項目,。由於微擾很微弱,含微擾系統的能級和量子態應該不會與它們的零微擾值相差太多,高階項目應該會很快地變小。

將冪級數代入薛丁格方程式,

展開這公式,匹配每一個齊次的項目,可以得到一組無窮級數的聯立的方程式。零次的方程式就是零微擾系統的薛丁格方程式。一次的方程式即

(1)

內積於這方程式:

這方程式的左手邊第一個項目與右手邊第一個項目相抵去(回憶零微擾哈密頓量是厄米算符)。這導致一階能級修正:

在量子力學裏,這是最常用到的方程式之一。試著解釋這方程式的內涵,是系統處於零微擾狀態時,其哈密頓量微擾的期望值。假若微擾被施加於這系統,但繼續保持系統於量子態。雖然,不再是新哈密頓量的本徵態,它仍舊是一個物理允許的量子態。施作的微擾使得這量子態的平均能量增加。可是,正確的能量修正稍微不同,因為含微擾系統的本徵態並不是。必須等待二階和更高階的能量修正,才能給出更精密的修正。

現在計算能量本徵態的一階修正。請先注意到,由於所有的零微擾本徵態形成了一個正交基可以表達為

所以,單位算符可以寫為所有密度矩陣的總合:

應用這恆等關係,

將這公式代入公式(1),稍加編排,可以得到

(2)

內積於這方程式:

暫時假設零微擾能級沒有簡併。也就是說,在系統裏,抽取任意兩個不同的能量本徵態,其能級必不相等。那麼,

(3)

為了避免分母可能會等於零,必須設定零微擾能級沒有簡併。稍後,會講述簡併系統的解法.

由於所有的形成了一個正交基可以表達為

這總合表達式包括了項目,假設滿足公式(2),則對於任意變數,必定也滿足公式(2)。設定,那麼,也滿足公式(2)。所以,

(4)

對公式(4)的意義稍微解釋。含微擾能量本徵態的一階修正,總合了每一個零微擾能量本徵態的貢獻。每一個貢獻項目跟成正比,是微擾作用於本徵態而產生的量子態,這量子態處於本徵態機率幅;每一個貢獻項目又跟能量本徵值與能量本徵值的差值成反比,這意味的是,假若附近有更多的本徵態,微擾對於量子態修正會造成更大的影響。還有,假若有任何量子態的能量與的能量相同,這個表達式會變為奇異的(singular)。這就是為什麼先前設定簡併不存在。

原本的零微擾能量本徵態滿足歸一性

加上了一階修正,是否仍舊滿足歸一性?取至一階,

可是,

所以,答案是肯定的。取至一階,滿足歸一性:

二階與更高階修正[编辑]

使用類似的程序,可以找出更高階的修正,雖然現在採用的這種表述,會使計算變得相當的冗長。取至二階,能量本徵值與歸一化的本徵態分別為

繼續延伸這程序,三階能量修正可以計算出來[3]

簡併[编辑]

假設兩個以上的能量本徵態是簡併的,也就是說,它們的能量本徵值相同,則其一階能量修正不是唯一定義的(well-defined),因為沒有唯一方法來確定一個零微擾本徵態正交基。一階本徵態修正的計算也會遇到嚴峻的問題,因為假若本徵態與本徵態是簡併的,則公式(3)的分數內的分母,這造成公式(4)無解。

對於某個能級,將其所有簡併的量子態生成的子空間標記為。藉著選擇生成本徵態的不同的線性組合,可以為構造一個不同的正交基。含微擾系統的量子態可以表達為

其中,是常數。

對於一階微擾,必須在簡併子空間內,同時與近似地計算,哈密頓量微擾對於每一個簡併的本徵態的作用:

其中,是微擾所造成的能級分裂

這是一個本徵值問題,等價於對角化以下矩陣

通常,簡併能量的分裂可以在實驗中被測量出來。雖然,與簡併量子態的能級本身相比,分裂值可能很小,但這對了解諸如精細結構核磁共振等物理現象,仍然是非常重要的。

別的不簡併本徵態造成的修正也可以用不簡併方法找到:

當作用於以外的本徵態時,這方程式左手邊的算符並不奇異(singular)。所以,這方程式可以寫為

近簡併量子態也應該使用前面講述的方法來解析,因為,在近簡併量子態的子空間內,能級的相差很可能是微擾的量級。近自由電子模型是一個標準案例,即便是對於很小的微擾,正確的近簡併計算也能給出能隙

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ E. Schrödinger, Annalen der Physik, Vierte Folge, Band 80, p. 437 (1926)
  2. ^ J. W. S. Rayleigh, Theory of Sound, 2nd edition Vol. I, pp 115-118, Macmillan, London (1894)
  3. ^ L. D. Landau, E. M. Lifschitz, ``Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory", 3rd ed.

外部連結[编辑]