在量子力學裏,量子諧振子(英語:quantum harmonic oscillator)是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者,因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外,其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。
能量最低的八個束縛本徵態的波函數表徵(n = 0到7)。橫軸表示位置x。此圖未經歸一化。
在一維諧振子問題中,一個質量為m的粒子,受到一位勢
。此粒子的哈密頓算符為

其中x為位置算符,而p為動量算符
。第一項代表粒子動能,而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態,必須解所謂的「定态薛丁格方程式」:
.
在座標基底下可以解這個微分方程式,用到冪級數方法。可以見到有一族的解:


前8个解(n = 0到7)如右圖。函數
為埃爾米特多項式:

注意到不應將之與哈密頓算符搞混,儘管哈密頓算符也標作H。相應的能階為
。
束縛本徵態之機率密度|ψn(x)|²,從最底部的基態(n = 0)開始,往上能量逐漸增加。橫軸表示位置x,而較亮的色彩代表較高的機率密度。
值得注意的是能譜,理由有三。首先,能量被「量子化」(quantized),而只能有離散的值——即
乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落,將對此現象做更詳細的檢視。再者,可有的最低能量(當n = 0)不為零,而是
,被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中,根據量子力學,一振子執行所謂的「零振動」(null oscillations)且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見,因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量,因為可以任意選擇;有意義的是能量差。雖然如此,基態能量有許多的意涵,特別是在量子重力。最後一個理由為能階值是等距的,不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。
注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部,合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時,機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points),其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致;古典的描述下,粒子多數時間處在(而更有機會被發現在)轉向點,因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。
前述的冪級數解雖然直觀,但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克,允許抽像求得能量本徵值,而不用直接解微分方程式。此外,此法很容易推廣到更複雜的問題,尤其是在量子場論中。跟從此方法,定義算符a與其伴隨算符(adjoint)a†:

算符a並非厄米算符(Hermitian),因其與伴隨算符a†並不相同。
算符a與a†有如下性質:

在推導a†形式的過程中,已用到算符x與p(代表可觀測量)為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合:

x與p算符遵守下面的等式,稱之為正則對易關係:
.
方程式中的方括號是常用的標記機器,稱為交換子、交換算符或對易算符,其定義為
.
利用上面關係,可以證明如下等式:

.
現在,讓
代表帶有能量E的能量本徵態。任何右括向量(ket)與自身的內積必須是非負值,因此
。
將a†a以哈密頓算符表示:
,
因此
。注意到當(
)為零右括向量(亦即:長度為零的右括向量),則不等式飽和而
。很直觀地,可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態(n = 0)。
利用上面等式,可以指出a及a†與H的對易關係:
.
因此要是(
)並非零右括向量,
.
類似地,也可以指出
.
換句話說,a作用在能量為E的本徵態,而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為
的本徵態,而a†作用在能量為E的本徵態,產生出另一個能量為
的本徵態。因為這樣,a稱作降算符而a†稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中,a與a†也分別稱作消滅算符與創生算符,以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。
給定任何能量本徵態,可以拿降算符a作用在其上,產生了另一個能量少了
的本徵態。重複使用降算符,似乎可以產生能量本徵態其能量低到E = −∞。不過這樣就就與早先的要求
相違背。因此,必須有一最底的能量本徵態——基態,標示作
(勿與零右括向量混淆),使得
(即a對
作用後產生零右括向量(zero ket))。
在這情況下,繼續使用降算符只會產生零右括向量,而不是產生額外的能量本徵態。此外,還指出了
。
最後,透過將升算符作用在
上,並且乘上適當的歸一化因子,可以產生出一個能量本徵態的無限集合
使得
,這與前段所給的能譜相符合。
這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態,
變為
。
所以,
。
這個方程式的解為,經過歸一化,
。
量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度,可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以
為單位來測量能量,以及
為單位來測量距離,則薛丁格方程式變成:
,
且能量本徵態與本徵值變成

.
為了避免混淆,在此文中不採用這些自然單位。不過,這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。
在雙原子分子中,自然頻率可以發現為[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆):

其中
為角頻率,
- k是共價鍵勁度係數
是約化質量。
一維諧振子很容易地推廣到
維。在一維中,粒子的位置是由單一座標x來指定的。在
維中,這由
個位置座標所取代,以
標示。對應每個位置座標有個動量,標示為p1, ..., pN。這些算符之間的正則對易關係為
.
系統的哈密頓算符為
。
從這個哈密頓量的形式,可以發覺,
維諧振子明確地可比擬為
個質量相同,彈性常數相同,獨立的一維諧振子。在這案例裏,變數
是
個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性,允許位勢被分離為
個項目,每一個項目只跟一個位置坐標有關。
這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數
,一個
維諧振子的能量本徵函數
等於
個一維本徵函數
的乘積:
。
採用階梯算符方法,定義
組階梯算符,
,
。
類似前面所述的一維諧振子案例,可以證明每一個
與
算符將能量分別降低或升高
。哈密頓量是
。
這量子系統的能階
是
;
其中,正整數
是
的量子數。
如同一維案例,能量是量子化的。
維基態能階是一維基態能階的
倍。只有一點不同,在一維案例裏,每一個能階對應於一個單獨的量子態。在
維案例裏,除了底態能階以外,每一個能階都是簡併的,都對應於多個量子態。
簡併度可以很容易地計算出來。例如,思考三維案例,設定
。每一個
相同的量子態,都會擁有相同的能量。給予
,首先選擇一個
。那麼,
,有
個值,從
到
,可以選擇為
的值。
的值自動的設定為
。因此,簡併度是
。
對於
維案例,
。
- 參閱三維均向諧振子
球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法,只有球對稱位勢不一樣:
;
其中,
是這問題的質量。由於
會被用來標記磁量子數,所以,用
來標記質量。
這問題的薛丁格方程式為
。
薛丁格方程式的全部解答寫為
;
其中,
是歸一常數,

是
階广义拉盖尔多项式 (generalized Laguerre polynomials),
是個正整數,
是球諧函數,
是約化普朗克常數。
能量本徵值是
。
能量通常可以用一個量子數
來描述:
。
由於
是個正整數,假若
是偶數,那麼,角量子數也是偶數:
;
假若
是奇數,那麼,角量子數也是奇數:
。
磁量子數
滿足不等式
。
對於每一個
與
,存在
個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數
。因此,
的兼併度是
;
其中,總和的指數
的初始值是
。
這結果與先前的方程式相同。
兩個質點的耦合諧振子
設想
個相同質量的質點,以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為
(也就是說,假若一個質點
位於其平衡點,則
)。整個系統的哈密頓量是
;
其中,
。
這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子,每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質,稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裏,這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
- Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8.