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量子諧振子

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量子力學裏,量子諧振子英语:quantum harmonic oscillator)是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者,因為一任意在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外,其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動

一維諧振子[编辑]

哈密頓算符與能量本徵態[编辑]

能量最低的六個束縛本徵態的波函數表徵(n = 0到7)。橫軸表示位置x。此圖未經歸一化

在一維諧振子問題中,一個質量為m的粒子,受到一位勢。此粒子的哈密頓算符

其中x位置算符,而p動量算符。第一項代表粒子動能,而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態,必須解所謂的「定态薛丁格方程式」:

.

在座標基底下可以解這個微分方程式,用到冪級數方法。可以見到有一族的解:

最先六個解(n = 0到5)展示在右圖。函數埃爾米特多項式

注意到不應將之與哈密頓算符搞混,儘管哈密頓算符也標作H。相應的能階為

束縛本徵態之機率密度n(x)|²,從最底部的基態(n = 0)開始,往上能量逐漸增加。橫軸表示位置x,而較亮的色彩代表較高的機率密度。

值得注意的是能譜,理由有三。首先,能量被「量子化」(quantized),而只能有離散的值——即乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落,將對此現象做更詳細的檢視。再者,可有的最低能量(當n = 0)不為零,而是,被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中,根據量子力學,一振子執行所謂的「零振動」(null oscillations)且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見,因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量,因為可以任意選擇;有意義的是能量差。雖然如此,基態能量有許多的意涵,特別是在量子重力。最後一個理由式能階值是等距的,不像波耳模型盒中粒子問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部,合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時,機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points),其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致;古典的描述下,粒子多數時間處在(而更有機會被發現在)轉向點,因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理

階梯算符方法[编辑]

前述的冪級數解雖然直觀,但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克,允許抽像求得能量本徵值,而不用直接解微分方程式。此外,此法很容易推廣到更複雜的問題,尤其是在量子場論中。跟從此方法,定義算符a與其伴隨算符(adjoint)a

算符a並非厄米算符(Hermitian),以其與伴隨算符a並不相同。

算符aa有如下性質:

在推導a形式的過程中,已用到算符xp(代表可觀測量)為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合:

xp算符遵守下面的等式,稱之為正則對易關係

.

方程式中的方括號是常用的標記機器,稱為交換子交換算符對易算符,其定義為

.

利用上面關係,可以證明如下等式:

.

現在,讓代表帶有能量E的能量本徵態。任何右括向量(ket)與自身的內積必須是非負值,因此

aa以哈密頓算符表示:

因此。注意到當()為零右括向量(亦即:長度為零的右括向量),則不等式飽和而。很直觀地,可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態(n = 0)。

利用上面等式,可以指出aaH的對易關係:

.

因此要是()並非零右括向量,

.

類似地,也可以指出

.

換句話說,a作用在能量為E的本徵態,而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 的本徵態,而a作用在能量為E的本徵態,產生出另一個能量為的本徵態。因為這樣,a稱作降算符a稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中,aa也分別稱作消滅算符創生算符,以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。

給定任何能量本徵態,可以拿降算符a作用在其上,產生了另一個能量少了的本徵態。重複使用降算符,似乎可以產生能量本徵態其能量低到E = −∞。不過這樣就就與早先的要求相違背。因此,必須有一最底的能量本徵態——基態,標示作(勿與零右括向量混淆),使得

(即a作用後產生零右括向量(zero ket))。

在這情況下,繼續使用降算符只會產生零右括向量,而不是產生額外的能量本徵態。此外,還指出了

最後,透過將升算符作用在上,並且乘上適當的歸一化因子,可以產生出一個能量本徵態的無限集合使得

,這與前段所給的譜相符合。

這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態,變為

所以,

這個方程式的解為,經過歸一化,

自然長度與能量尺度[编辑]

量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度,可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以為單位來測量能量,以及為單位來測量距離,則薛丁格方程式變成:

且能量本徵態與本徵值變成

.

為了避免混淆,在此文中不採用這些自然單位。不過,這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被運用到。

案例:雙原子分子[编辑]

在雙原子分子中,自然頻率可以發現為[1]

其中

為角頻率,
k共價鍵勁度係數
約化質量

維諧振子[编辑]

一維諧振子很容易地推廣到維。在一維中,粒子的位置是由單一座標x來指定的。在維中,這由個位置座標所取代,以標示。對應每個位置座標有個動量,標示為p1, ..., pN。這些算符之間的正則對易關係

.

系統的哈密頓算符

從這個哈密頓量的形式,可以發覺,維諧振子明確地可比擬為個質量相同,彈性常數相同,獨立的一維諧振子。在這案例裏,變數個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性,允許位勢被分離為個項目,每一個項目只跟一個位置坐標有關。

這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數,一個維諧振子的能量本徵函數等於個一維本徵函數的乘積:

採用階梯算符方法,定義階梯算符

類似前面所述的一維諧振子案例,可以證明每一個算符將能量分別降低或升高。哈密頓量是

這量子系統的能階

其中,正整數的量子數。

如同一維案例,能量是量子化的。基態能階是一維基態能階的倍。只有一點不同,在一維案例裏,每一個能階對應於一個單獨的量子態。在維案例裏,除了底態能階以外,每一個能階都是簡併的,都對應於多個量子態。

簡併度可以很容易地計算出來。例如,思考三維案例,設定。每一個相同的量子態,都會擁有相同的能量。給予,首先選擇一個。那麼,,有個值,從,可以選擇為的值。的值自動的設定為。因此,簡併度是

對於維案例,

案例:三維均向諧振子[编辑]

參閱三維均向諧振子

球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法,只有球對稱位勢不一樣:

其中,是這問題的質量。由於會被用來標記磁量子數,所以,用來標記質量。

這問題的薛丁格方程式

薛丁格方程式的全部解答寫為

其中,

是歸一常數,
廣義拉格耳多項式 (generalized Laguerre polynomials),是個正整數,
球諧函數
約化普朗克常數

能量本徵值是

能量通常可以用一個量子數來描述:

由於是個正整數,假若是偶數,那麼,角量子數也是偶數:

假若是奇數,那麼,角量子數也是奇數:

磁量子數滿足不等式

對於每一個,存在個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數。因此,的兼併度是

其中,總和的指數的初始值是

這結果與先前的方程式相同。

耦合諧振子[编辑]

兩個質點的耦合諧振子

設想個相同質量的質點,以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為(也就是說,假若一個質點位於其平衡點,則)。整個系統的哈密頓量是

其中,

很奇妙地,這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子,每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質,稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固體物理學裏,這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 
  • Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8. 

外部連結[编辑]