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自由粒子

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物理學裏,自由粒子是不被位勢束縛的粒子。在經典力學裏,一個自由粒子所感受到外來的淨力是0。

假若,一個粒子的能量大於在任何地點位勢,不會被位勢束縛,則稱此粒子為自由粒子。更強版的定義,還要求位勢為常數。假若,一維空間分為幾個區域,只有在每個區域內,位勢為常數;在區域與區域之間,位勢不相等,則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大於位勢,,不會被位勢束縛,能量不是離散能量譜的特殊值,而是大於或等於的任意值。

本條目只論述強版定義的自由粒子。由於能量與位勢都不是絕對值,可以設定位勢為0,再根據新舊位勢的差額,調整能量。

古典自由粒子[编辑]

古典自由粒子的特點是它移動的速度是不變的。它的動量

其中,是粒子的質量

能量

非相對論性的自由粒子[编辑]

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式

其中,約化普朗克常數是粒子的波函數是粒子的位置,是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解:

其中,波向量角頻率

將這公式代入薛丁格方程,這兩個變數必須遵守關係式

由於粒子存在的機率等於1,波函數必須歸一化,才能夠表達出正確物理意義。對於一般的自由粒子而言,這不是問題。因為,自由粒子的波函數,在位置或動量方面,都是局部性的。

動量的期望值

能量的期望值是

代入波向量與角頻率的關係方程,可以得到熟悉的能量與動量的關係方程:

波的群速度定義為

其中,是粒子的經典速度。

波的相速度定義為

量子力學裏,一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數以波包函數表示為

其中,積分區域-空間。

為了方便計算,只思考一維空間,

其中,振幅量子疊加的係數函數。

逆反過來,係數函數表示為

其中,是在時間的波函數。

所以,知道在時間的波函數,通過傅立葉變換,可以推導出在任何時間的波函數

相對論性的自由粒子[编辑]

相對論性的自由粒子的量子行為,需要用特別的方程專門描述:

參閱[编辑]