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波函数

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。
設想經典力學裏的諧振子 系統(A-B),一條彈簧的一端固定不動,另一端有一個帶質量圓球;在量子力學裏, (C-H)展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置,豎軸坐標表示波函數機率幅的實部(藍色)或虛部(紅色)。(C-F)是定態,(G、H)不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。

量子力學裏,量子系統的量子態可以用波函數英语:wave function)來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。從數學角度來看,薛丁格方程式乃是一種波動方程式,因此,波函數具有類似波的性質。這說明了波函數這術語的命名原因。

波函數 是一種複值函數,表示粒子在位置 、時間 機率幅,它的絕對值平方 是在位置 、時間 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋,波函數是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。[1]

波函數的概念在量子力學裏非常基礎與重要,諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑,都源自於波函數,甚至今天,這些論題仍舊尚未獲得滿意解答。

歷史[编辑]

路易·德布羅意
埃爾溫·薛丁格

在1920年代與1930年代,理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意埃爾溫·薛丁格等等,他們使用的數學工具是微積分,他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡馬克斯·玻恩等等,使用線性代數,他們建立了矩陣力學。後來,薛丁格證明這兩種方法完全等價。[2]:606–609

德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明,每一種微觀粒子都具有波粒二象性電子也不例外,具有這種性質。電子是一種波動,是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性,應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式,這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示,他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學光學之間的類比這方面的研究,在其中隱藏了一個奧妙的發現,即在零波長極限,物理光學趨向於幾何光學;也就是說,光波的軌道趨向於明確的路徑,而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為,在零波長極限,波傳播趨向於明確的運動,但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為,而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。[3]:207他又用自己設計的方程式來計算氫原子譜線,得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果,寫為一篇論文,1926年,正式發表於物理學界[4][5]:163-167。從此,量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時,物理學者尚未能解釋波函數的涵義,薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度,但遭到失敗。1926年,玻恩提出機率幅的概念,成功地解釋了波函數的物理意義[3]:219-220。可是,薛定諤本人不贊同這種統計機率方法,和它所伴隨的非連續性波函數塌縮,如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似,薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年,他寫給玻恩的一封信內,薛定諤清楚地表明了這意見。[3]:479

1927年,道格拉斯·哈特里(Douglas Hartree)與弗拉基米爾·福克(Vladimir Fock)在對於多體波函數的研究踏出了第一步,他們發展出哈特里-福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出,後來福克將之加以改善,能夠符合包立不相容原理的要求。[6]:344-345

薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ,无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式,來尋找一個相對論性方程式,並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果,又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象,他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁,先行發表前面提到的非相對論性部分。[3]:196-197[7]:3

1926年,奥斯卡·克莱因(Oskar Klein)和沃尔特·戈尔登(Walter Gordon)將電磁相對作用納入考量,獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分,並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式[7]:3

1928年,保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學,他推導出狄拉克方程式,適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量,擁有自旋性質。[5]:167

概述[编辑]

在一維無限深方形阱內,粒子的能級與對應的波函數。
在一維無限深方形阱內,找到能級為 的粒子的機率。

位置空間波函數[编辑]

假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 ;其中, 是位置, 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的,而是機率性的。粒子的位置 在區間 (即 )的機率

其中, 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說, 是粒子在位置 、時間 的機率密度。

這導致歸一化條件:在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%:

動量空間波函數[编辑]

在動量空間,粒子的波函數表示為 ;其中, 是一維動量,值域從 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的,而是機率性的。粒子的動量 在區間 (即 )的機率為

動量空間波函數的歸一化條件也類似:

兩種波函數之間的關係[编辑]

本圖展示一維零自旋自由粒子的波函數範例,左邊是位置空間波函數 的實部(紫色)和機率密度 (紅色),右邊是動量空間波函數 的實部(金色)和機率密度 (藍色)。在x-軸的某位置 或px-軸的某動量 顯示出的粒子顏色的不透明度,分別表示在那位置 或動量 找到粒子的機率密度(不是波函數的機率幅)。

位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同,任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為[8]:108

薛丁格方程式[编辑]

在一維空間裏,運動於位勢 的單獨粒子,其波函数滿足含時薛丁格方程式

其中,質量約化普朗克常數

不含時薛丁格方程式與時間無關,可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法,猜想 的函數形式為

其中, 是分離常數,稍加推導可以論定 就是能量 是對應於 本徵函數

代入這猜想解,經過一番運算,可以推導出一維不含時薛丁格方程式:

波函数的概率诠释[编辑]

波函数 是概率波。其模的平方 代表粒子在该处出现的概率密度,并且具有归一性,全空间的积分

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加,概率的大小取决于两个波函数的相位差,类似光学中的杨氏双缝实验

波函数的本征值和本征态[编辑]

在量子力学中,可观察量 以算符 的形式出现。 代表对於波函数的一种运算。例如,在位置空間裏,动量算符 的形式為

可观察量 的本徵方程式為

对应的 称为算符 本徵值 称为算符 本徵態。假設對於 的本徵態 再測量可观察量 ,則得到的結果是本徵值

态叠加原理[编辑]

假設對於某量子系統測量可觀察量 ,而可觀察量 的本徵態 分別擁有本徵值 ,則根据薛定谔方程线性关系,疊加態 也可以是這量子系統的量子態:

其中, 分別為疊加態處於本徵態 機率幅

假設对這疊加態系統测量可观察量 ,則測量獲得數值是 的機率分別為 期望值

定态[编辑]

描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊:波函數機率幅的實部(藍色)或虛部(紅色)。右邊:找到粒子在某位置的機率,這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態,最下面橫排是疊加態

量子力学中,一类基本的问题是哈密顿算符 不含时间的情况。對於這問題,應用分離變數法,可以將波函數 分離成一个只与位置有关的函数 和一个只与时间有关的函数

將這公式代入薛定谔方程,就会得到

则满足本徵能量薛丁格方程式

例子[编辑]

自由粒子[编辑]

3D空间中的自由粒子,其波矢k角频率ω,其波函数为:

無限深方形阱[编辑]

粒子被限制在x = 0x = L之间的1D空间中,其波函数为:[8]:30-38

其中,是能量本徵值,是正整數,是質量。

有限位势垒[编辑]

对于一个垒高为 V_0\,\! 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示

在1D情况下,粒子处于如下势垒中:

其波函数的定态解为(为常数)

量子点[编辑]

量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像s轨道p轨道。然而,由于不同的几何形态导致不同的束缚,三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。

量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势(由外部的电极,掺杂,应变,杂质产生),两种不同半导体材料的界面(例如:在自組量子点中),半导体的表面(例如:半导体纳米晶体),或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中,但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述,能级位置取决于势阱宽度。


参考文獻[编辑]

  1. ^ Hobson, Art. There are no particles, there are only fields. American Journal of Physics. 2013, 81 (211). doi:10.1119/1.4789885. 
  2. ^ Hanle, P.A., Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory., Isis, December 1977, 68 (4), doi:10.1086/351880 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9 (English) 
  4. ^ 薛定諤, 埃尔温, Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen (PDF) 79, Annalen der Physik, (Leipzig), 1926  [德文原稿]
  5. ^ 5.0 5.1 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523. 
  6. ^ Atkins, Peter; de Paula, Julio. Physical Chemistry 8th. W. H. Freeman. 2006. ISBN 978-0716787594. 
  7. ^ 7.0 7.1 McMahon, David. Quantum Field Theory Demystified. McGraw Hill Professional. 2008. ISBN 9780071643528. 
  8. ^ 8.0 8.1 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 

参閱[编辑]