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無限深方形阱

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處於盒子裏的粒子可以自由移動於無法穿越的阱壁內。當阱壁之間距離很微小的時候,可以觀察到量子效應。例如,粒子在某位置的機率比在另外位置的機率大,粒子的能級是離散的。

物理學裏,無限深方形阱(infinite square potential),又稱為無限深位勢阱(infinite potential well),是一個阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個粒子,永遠地束縛於無限深位勢阱內,無法逃出。關於這些粒子的量子行為的問題,稱為無限深方形阱問題,又稱為無限深位勢阱問題盒中粒子問題(particle in a box problem),是一個理論問題。假若,阱內只有一個粒子,則稱為單粒子無限深方形阱問題。假若,阱內有兩個粒子,則稱為雙粒子無限深方形阱問題。假若,這兩個粒子是完全相同的粒子,則問題又複雜許多,稱為雙全同粒子無限深方形阱問題。在這裏,只討論單粒子無限深方形阱問題。

經典力學裏,應用牛頓運動定律,可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的碰撞彈性碰撞,粒子的動能保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動,碰撞來,碰撞去,而速率始終保持不變。在任意時間,粒子在阱內各個位置的機率是均勻的。

量子力學裏,這問題突然變得很有意思。許多基要的概念,在這問題的解析中,呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化,應用薛丁格方程,可以很容易地,雖然並不是很直覺地,求得解答。滿足這薛丁格方程的能量本徵函數,是表達粒子量子態波函數。每一個能量本徵函數的能量,只能是離散能級譜中的一個能級。很令人驚訝的是,離散能級譜中最小的能級不是 0 ,而是一個有限值,稱為零點能量!這系統的最小能級量子態的能級不是 0 。

更加地,假若測量粒子的位置,則會發現粒子在阱內各個位置的機率大不相同。在有些位置,找到粒子的機率是 0 ,絕對找不到粒子。這些結果與經典力學的答案迥然不同。可是,這些結果所根據的原理,早已在許多精心設計的實驗中,廣泛地證明是正確無誤的。

簡介

一個一維無限深方形阱,阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。

在量子力學裏,無限深方形阱問題是一個簡單化的,理想化的問題。無限深方形阱是一個有限尺寸的位勢阱,阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。在阱內,粒子感受不到任何作用力,可以自由的移動於阱內。可是,阱壁是無限的高,粒子完全地束縛於阱內。為了刪繁就簡,先從一維問題開始,研討粒子只移動於一維空間的問題。之後,可推廣至二維與三維空間。

這問題的薛丁格方程解答,明確地呈現出粒子的某些量子行為。這些量子行為與實驗的結果相符合;可是,與經典力學的理論預測,有很大的衝突。特別令人注目地是,這量子行為是自然地從邊界條件產生的,而不是人為勉強加添造成的。這解答乾淨俐落地展示出,任何類似的物理系統,自然地會產生量子行為;與平常的想法恰恰相反,量子行為不是像變魔術一般變出來的。

無限深方形阱問題的粒子的量子行為包括:

  1. 能量量子化: 表達粒子量子態的能量本徵函數,其伴隨的能量不是任意值,而只能是離散能級譜中的一個能級。
  2. 零點能量: 粒子最小的允許能級,稱為零點能量,不是 0 。
  3. 波節點: 恰恰與經典力學相反,薛丁格方程預測會有波節的存在。這意味著在阱內某些地方,找到粒子的概率是零。

不論這問題有多麼地簡單,由於能夠完全地解析其薛丁格方程,這問題可以導致對量子力學有更深刻的理解。實際上,這問題也非常的重要。無限深方形阱問題可以用來模擬許多真實的物理系統。例如,一個導電電子在一根直的,極細的奈米金屬絲內的量子行為[來源請求]。更詳細內容,請參閱條目奈米線

一維阱

在一維無限深方形阱內,粒子的能級與伴隨的波函數。
在一維無限深方形阱內,找到能級為 的粒子的機率。

一個粒子束縛於一維無限深方形阱內,阱寬為 。阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向( 方向)。如圖示,一維無限深方形阱的本徵函數 與本徵值 分別為

其中, 是正值的整數,普朗克常數 是粒子質量。

導引

一維不含時薛丁格方程可以表達為

(1)

其中, 是複值的、不含時間的波函數 是跟位置有關的位勢, 是正值的能量。

在阱內,位勢 。一維不含時薛丁格方程約化為

(2)

這是一個已經經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數 本徵值

(3a)
(3b)

其中, 是常數,可以是複值, 是實值的波數(因為 是正值的,所以, 必須是實數。)。

為了求得一般解 的常數 ,與波數 的值,必須具體表明這問題的邊界條件。由於粒子趨向於位勢低的地區,位勢越高,找到粒子的機率 越小。在 兩個阱壁位置,位勢無限的高,找到粒子的機率是微乎其微: 。所以,邊界條件是

(4)

代入方程 (3a) 。在 ,可以得到

(5)

,可以得到

(6)

方程 (6) 的一個簡易解是 。可是,這樣,波函數是 。這意味著一個不可能的物理答案:粒子不在阱內!所以,不能接受這簡易解。設定 ,則 。那麼,必須要求

 ;(7)

其中,整數

注意到 狀況必須被排除,因為,不能容許波函數是 的物理答案:粒子不在阱內!

為了求得 值,波函數需要歸一化,一個粒子必須存在於整個一維空間的某地方:

常數 的值為

(8)

常數 可以是任何複數,只要絕對值等於 ;可是,這些不同值的 都對應於同樣的物理狀態。所以,為了方便計算,選擇

盒中粒子(黑色粗點)和自由粒子(灰色曲線)的能量都同樣地跟波數有關。但是,盒中粒子只能帶有離散的能量。

最後,將方程 (7) ,(8) 代入方程 (3a) ,(3b) 。一維無限深方形阱問題的能量本徵方程與能量本徵值(能級)是

  • 如同前面所述,此問題只容許量子化的能級。由於 ,最低的能級,稱為零點能量,大於 0 。這答案可以用不確定原理解釋。因為粒子束縛於有限的區域,位置變異數有上界。所以,粒子的動量的變異數大於 0 ,粒子必須擁有能量。這能量隨著阱寬的減小而增加。
  • 很重要的一點是,雖然表達粒子量子態的能量本徵函數,其能量只能是離散能級譜中的一個能級。這並不能防止粒子擁有任意的能量,只要這能量大於零點能量。根據態疊加原理,粒子的量子態,可以是幾個能量本徵函數的疊加。當測量粒子的能量時,測量的答案,只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。由於測量會造成波函數塌縮,不能對同一個粒子做多次的測量,而指望得到有意義的答案。必須假設準備了許多同樣的系統。對每一個系統內的粒子,做同樣的測量。雖然,每一次的測量的答案,只可能是疊加的幾個能級中的一個能級。所有答案的的平均值,是粒子的能量期望值

啟發導引

能量本徵值的公式可以啟發地被推導出來。試想,兩個阱壁必定是波函數的波節。這意味著,阱寬必須剛好能夠容納半個波長的整數倍:

其中, 是波長, 是正值的整數。

應用德布羅意假說,粒子的動量

代入聯繫能量與動量的經典公式,則可以得到系統的能量本徵值。

二維阱

二維無限深方形阱的波函數.,

一個粒子束縛於二維無限深方形阱內,阱寬在 方向,分別為 。阱內位勢為 0 ,阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向( 方向)。二維無限深方形阱的本徵函數 與本徵值 分別為

其中, 是正值的整數。

導引

在這二維的問題裏,粒子束縛於一個二維位勢阱內,在阱內,二維的解答方程與方程 (2) 類似,是一個二階偏微分方程

應用分離變數法 。首先,假設 是兩個不相關的函數 的乘積, 只含有變數 只含有變數

的假設方程代入二維方程,則可得到

將這方程兩邊都除以 ,則可得到

由於方程左邊圓括號內的兩個項目 分別只跟 有關,兩個項目分別都必須等於常數:

其中, 都是常數,

這樣,可以得到兩個約化的一維薛丁格方程:

前面,已經解析了同樣形式的一維薛丁格方程(方程 (2) )。將那裡的答案移接到這裡,

其中,整數

將兩個方程合併,可以得到解答:

三維阱

同樣地,應用分離變數法於三維阱問題,可以得到能量本徵函數與能量本徵值:

其中,

當兩個以上的阱寬相等的時候,對應於同樣的總能量,會存在有多個不同的波函數。這狀況稱為簡併,是由物理系統的對稱性造成的。例如,假設 一個三維阱的 ,則 的波函數與 的波函數,兩個波函數的能量相等。由於在這物理系統裏,有兩個阱寬相等,這物理系統對稱於繞著 z-軸的 旋轉。

參考文獻

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7. 

參閱