本条目中,矢量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如,位置矢量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示;而其大小则用
r
{\displaystyle r\,\!}
来表示。
设想经典力学里的谐振子 系统(A-B),一条弹簧 的一端固定不动,另一端有一个带质量圆球;在量子力学 里, (C-H)展示出同样系统的薛定谔方程 的六个波函数解。横轴坐标表示位置,竖轴坐标表示波函数概率幅 的实部(蓝色)或虚部(红色)。(C-F)是定态,(G、H)不是定态。定态的能量为驻波 振动频率与约化普朗克常数的乘积。
在量子力学 里,量子系统的量子态 可以用波函数 (英语:Wave function )来描述。薛定谔方程 设定波函数如何随着时间流逝而演化。[ 注 1]
波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
是一种复值 函数 ,表示粒子在位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
、时间
t
{\displaystyle t}
的概率幅 ,它的绝对值平方
|
Ψ
(
r
,
t
)
|
2
{\displaystyle |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}}
是在位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
、时间
t
{\displaystyle t}
找到粒子的概率密度 。以另一种角度诠释,波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
是“在某时间、某位置发生相互作用的概率幅”。[ 1] [ 注 2]
路易·德布罗意
埃尔温·薛定谔
在1920年代与1930年代,理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意 和埃尔温·薛定谔 等等,他们使用的数学工具是微积分 ,他们共同创建了波动力学 。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡 和马克斯·玻恩 等等,使用线性代数 ,他们建立了矩阵力学 。后来,薛定谔证明这两种方法完全等价。[ 2] :606–609
德布罗意于1924年提出的德布罗意假说 表明,每一种微观粒子都具有波粒二象性 。电子 也不例外,具有这种性质。电子是一种波动,是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波 频率与波数。既然粒子具有波粒二象性,应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程 ,这点子给予埃尔温·薛定谔 极大的启示,他因此开始寻找这波动方程。薛定谔参考威廉·哈密顿 先前关于牛顿力学 与光学 之间的类比这方面的研究,在其中隐藏了一个奥妙的发现,即在零波长 极限,物理光学 趋向于几何光学 ;也就是说,光波的轨道趋向于明确的路径,而这路径遵守最小作用量原理 。哈密顿认为,在零波长极限,波传播 趋向于明确的运动,但他并没有给出一个具体方程来描述这波动行为,而薛定谔给出了这方程。他从哈密顿-雅可比方程 成功地推导出薛定谔方程。[ 3] :207 他又用自己设计的方程来计算氢原子 的谱线 ,得到的答案与用玻尔模型 计算出的答案相同。他将这波动方程与氢原子光谱分析结果,写为一篇论文,1926年,正式发表于物理学界[ 4] [ 5] :163-167 。从此,量子力学有了一个崭新的理论平台。
薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。那时,物理学者尚未能解释波函数的涵义,薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度,但遭到失败。1926年,玻恩提出概率幅 的概念,成功地解释了波函数的物理意义[ 3] :219-220 。可是,薛定谔本人不赞同这种统计 或概率 方法,和它所伴随的非连续性波函数坍缩 ,如同爱因斯坦认为量子力学只是个决定性理论 的统计近似,薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释 。在他有生最后一年,他写给玻恩的一封信内,薛定谔清楚地表明了这意见。[ 3] :479
1927年,道格拉斯·哈特里 与弗拉基米尔·福克 在对于多体 波函数的研究踏出了第一步,他们发展出哈特里-福克方程 来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出,后来福克将之加以改善,能够符合泡利不相容原理的要求。[ 6] :344-345
薛定谔方程不具有洛伦兹不变性 ,无法准确给出符合相对论的结果。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式,来寻找一个相对论性方程,并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程给出的精细结构不符合阿诺·索末菲 的结果,又会给出违背量子力学的负概率和怪异的负能量现象,他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁,先行发表前面提到的非相对论性部分。[ 3] :196-197 [ 7] :3
1926年,奥斯卡·克莱因 和沃尔特·戈尔登 将电磁相对作用 纳入考量,独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分,并且证明其具有洛伦兹不变性。这方程后来称为克莱因-戈尔登方程 。[ 7] :3
1928年,保罗·狄拉克 最先成功地统一了狭义相对论 与量子力学,他推导出狄拉克方程 ,适用于电子等等自旋 为1/2的粒子。这方程的波函数是一个旋量 ,拥有自旋性质。[ 5] :167
在一维无限深方形阱 内,粒子的能级与对应的波函数。
在一维无限深方形阱内,找到能级为
n
{\displaystyle n}
的粒子的概率。
假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
;其中,
x
{\displaystyle x}
是位置,
t
{\displaystyle t}
是时间。波函数是复值 函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的位置
x
{\displaystyle x}
在区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(即
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle a\leq x\leq b}
)的概率
P
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle P_{a\leq x\leq b}}
为
P
a
≤
x
≤
b
=
∫
a
b
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
d
x
{\displaystyle P_{a\leq x\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x}
;
其中,
t
{\displaystyle t}
是对于粒子位置做测量的时间。
换句话说,
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
{\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}}
是粒子在位置
x
{\displaystyle x}
、时间
t
{\displaystyle t}
的概率密度。
这导致归一化条件:在位置空间的任意位置找到粒子的概率为100%:
∫
−
∞
∞
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1}
。
在动量空间,粒子的波函数表示为
Φ
(
p
,
t
)
{\displaystyle \Phi (p,t)}
;其中,
p
{\displaystyle p}
是一维动量,值域从
−
∞
{\displaystyle -\infty }
至
+
∞
{\displaystyle +\infty }
。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的,而是概率性的。粒子的动量
p
{\displaystyle p}
在区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(即
a
≤
p
≤
b
{\displaystyle a\leq p\leq b}
)的概率为
P
a
≤
p
≤
b
=
∫
a
b
|
Φ
(
p
,
t
)
|
2
d
p
{\displaystyle P_{a\leq p\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p}
。
动量空间波函数的归一化条件也类似:
∫
−
∞
∞
|
Φ
(
p
,
t
)
|
2
d
p
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,\left|\Phi (p,t)\right|^{2}\mathrm {d} p=1}
。
本图展示一维零自旋自由粒子 的波函数范例,左边是位置空间波函数
Ψ
(
x
)
{\displaystyle \Psi (x)}
的实部(紫色)和概率密度
|
Ψ
(
x
)
|
2
{\displaystyle |\Psi (x)|^{2}}
(红色),右边是动量空间波函数
Φ
(
p
)
{\displaystyle \Phi (p)}
的实部(金色)和概率密度
|
Φ
(
p
)
|
2
{\displaystyle |\Phi (p)|^{2}}
(蓝色)。在x-轴的某位置
x
{\displaystyle x}
或px -轴的某动量
p
{\displaystyle p}
显示出的粒子颜色的不透明度,分别表示在那位置
x
{\displaystyle x}
或动量
p
{\displaystyle p}
找到粒子的概率密度(不是波函数的概率幅)。
位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的傅里叶变换 。他们各自拥有的信息相同,任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为[ 8] :108
Φ
(
p
,
t
)
=
1
2
π
ℏ
∫
−
∞
∞
e
−
i
p
x
/
ℏ
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle \Phi (p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x}
、
Ψ
(
x
,
t
)
=
1
2
π
ℏ
∫
−
∞
∞
e
i
p
x
/
ℏ
Φ
(
p
,
t
)
d
p
{\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p}
。
量子力学中体系的态实际上由一个希尔伯特空间里的
|
J
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
矢量来描述。我们可以用任何不同的基来表示它。[ 9]
波函数
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
实际上是
|
J
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
在坐标本征函数为基上展开的
x
{\displaystyle x}
“分量”:
Ψ
(
x
,
t
)
=
⟨
x
∣
J
(
t
)
⟩
,
{\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\mid {\mathfrak {J}}(t)\rangle ,}
(这里基矢量
|
x
⟩
{\displaystyle |x\rangle }
对应于本征值为
x
{\displaystyle x}
的算符
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
的本征函数)。[ 9]
动量空间波函数
Φ
=
(
p
,
t
)
{\displaystyle \Phi =(p,t)}
是
|
J
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
用动量本征函数的基展开时的展开系数:
Φ
(
p
,
t
)
=
⟨
p
∣
ℑ
(
t
)
⟩
{\displaystyle \Phi (p,t)=\langle p\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }
(这里基矢量
|
p
⟩
{\displaystyle |p\rangle }
对应于属于本征值
p
{\displaystyle p}
的
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
的本征函数)[ 9] [ 注 3] 。
我们也可以把
|
F
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {F}}(t)\rangle }
用能量本征函数的基展开(简单起见,假设谱是分立的):
c
n
(
t
)
=
⟨
n
∣
ℑ
(
t
)
⟩
{\displaystyle c_{n}(t)=\langle n\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }
(这里基矢量
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
对应属于
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
的第
n
{\displaystyle n}
个本征函数:
c
n
=
⟨
f
n
∣
Ψ
⟩
=
∫
f
n
(
x
)
∗
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle c_{n}=\left\langle f_{n}\mid \Psi \right\rangle =\int f_{n}(x)^{*}\Psi (x,t)\mathrm {d} x}
) 。[ 9]
波函数
Ψ
{\displaystyle \Psi }
与
Φ
{\displaystyle \Phi }
和系数的集合
{
c
n
}
{\displaystyle \left\{c_{n}\right\}}
,所有这些所表示的都是同一个状态,包含完全一样的信息——它们仅是描述同一矢量的三种不同途径而已[ 9] :
|
J
(
t
)
⟩
→
∫
Ψ
(
y
,
t
)
δ
(
x
−
y
)
d
y
=
∫
Φ
(
p
,
t
)
1
2
π
ℏ
e
i
p
x
/
ℏ
d
p
=
∑
c
n
e
−
i
E
n
t
/
ℏ
ψ
n
(
x
)
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle \rightarrow \int \Psi (y,t)\delta (x-y)dy=\int \Phi (p,t){\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{ipx/\hbar }dp=\sum c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)}
在一维空间里,运动于位势
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
的单独粒子,其波函数满足含时薛定谔方程
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
Ψ
(
x
,
t
)
+
V
(
x
)
Ψ
(
x
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)}
;
其中,
m
{\displaystyle m}
是质量 ,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是约化普朗克常数 。
不含时薛定谔方程 与时间无关,可以用来计算粒子的本征能量 与其它相关的量子性质。应用分离变数法 ,猜想
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,\,t)}
的函数形式为
Ψ
(
x
,
t
)
=
ψ
E
(
x
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi (x,\,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }}
;
其中,
E
{\displaystyle E}
是分离常数,稍加推导可以论定
E
{\displaystyle E}
就是能量 ,
ψ
E
(
x
)
{\displaystyle \psi _{E}(x)}
是对应于
E
{\displaystyle E}
的本征函数 。
代入这猜想解,经过一番运算,可以推导出一维不含时薛定谔方程:
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
ψ
E
(
x
)
+
V
(
x
)
ψ
E
(
x
)
=
E
ψ
E
(
x
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi _{E}(x)+V(x)\psi _{E}(x)=E\psi _{E}(x)}
。
波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
是概率波。其模的平方
|
Ψ
(
r
,
t
)
|
2
{\displaystyle \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,}
代表粒子在该处出现的概率密度 ,并且具有归一性,全空间的积分
∫
|
Ψ
(
r
,
t
)
|
2
d
3
x
=
1
{\displaystyle \int \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,d^{3}\,x=1}
。
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加,概率的大小取决于两个波函数的相位差,类似光学中的杨氏双缝实验 。
在量子力学中,可观察量
A
{\displaystyle A}
以算符
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
的形式出现。
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
代表对于波函数的一种运算。例如,在位置空间里,动量算符
p
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}
的形式为
p
^
=
−
i
ℏ
∇
{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }
。
可观察量
A
{\displaystyle A}
的本征方程为
A
^
ψ
=
a
ψ
{\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi }
。
对应的
a
{\displaystyle a}
称为算符
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
的本征值 ,
ψ
{\displaystyle \psi }
称为算符
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
的本征态 。假设对于
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
的本征态
ψ
{\displaystyle \psi }
再测量可观察量
A
{\displaystyle A}
,则得到的结果是本征值
a
{\displaystyle a}
。
假设对于某量子系统测量可观察量
A
{\displaystyle A}
,而可观察量
A
{\displaystyle A}
的本征态
|
a
1
⟩
{\displaystyle |a_{1}\rangle }
、
|
a
2
⟩
{\displaystyle |a_{2}\rangle }
分别拥有本征值
a
1
{\displaystyle a_{1}}
、
a
2
{\displaystyle a_{2}}
,则根据薛定谔方程 的线性关系 ,叠加态
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
也可以是这量子系统的量子态:
|
ψ
⟩
=
c
1
|
a
1
⟩
+
c
2
|
a
2
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle }
;
其中,
c
1
{\displaystyle c_{1}}
、
c
2
{\displaystyle c_{2}}
分别为叠加态处于本征态
|
a
1
⟩
{\displaystyle |a_{1}\rangle }
、
|
a
2
⟩
{\displaystyle |a_{2}\rangle }
的概率幅 。
假设对这叠加态系统测量可观察量
A
{\displaystyle A}
,则测量获得数值是
a
1
{\displaystyle a_{1}}
或
a
2
{\displaystyle a_{2}}
的概率分别为
|
c
1
|
2
{\displaystyle |c_{1}|^{2}}
、
|
c
2
|
2
{\displaystyle |c_{2}|^{2}}
,期望值 为
⟨
ψ
|
A
|
ψ
⟩
=
|
c
1
|
2
a
1
+
|
c
2
|
2
a
2
{\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}}
。
描述谐振子的含时薛定谔方程的三个波函数解。左边:波函数概率幅 的实部(蓝色)或虚部(红色)。右边:找到粒子在某位置的概率,这说明了为什么概率与时间无关的量子态被称为“定态”。上面两个横排是定态,最下面横排是叠加态
ψ
N
=
(
ψ
0
+
ψ
1
)
/
2
{\displaystyle \psi _{N}=(\psi _{0}+\psi _{1})/{\sqrt {2}}}
。
在量子力学 中,一类基本的问题是哈密顿算符
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
不含时间的情况。对于这问题,应用分离变数法 ,可以将波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
分离成一个只与位置有关的函数
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
和一个只与时间有关的函数
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
:
Ψ
(
r
,
t
)
=
ψ
(
r
)
f
(
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )f(t)}
。
将这公式代入薛定谔方程 ,就会得到
f
(
t
)
=
exp
(
−
i
E
t
/
ℏ
)
{\displaystyle f(t)=\exp {(-iEt/\hbar )}}
。
而
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
则满足本征能量薛定谔方程 :
H
^
ψ
(
r
)
=
E
ψ
(
r
)
{\displaystyle {\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}
。
3D空间中的自由粒子,其波矢 为k , 角频率 为ω ,其波函数为:
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
.
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,.}
粒子被限制在x = 0 和x = L 之间的1D空间中,其波函数为:[ 8] :30-38
Ψ
(
x
,
t
)
=
2
L
sin
(
n
π
x
L
)
e
−
i
ω
n
t
,
0
≤
x
≤
L
Ψ
(
x
,
t
)
=
0
,
x
<
0
,
x
>
L
{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x,t)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-i\omega _{n}t},&\quad 0\leq x\leq L\\\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\\\end{aligned}}}
其中,
ℏ
ω
n
=
n
2
h
2
8
m
L
2
{\displaystyle \hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}
是能量本征值,
n
{\displaystyle n}
是正整数,
m
{\displaystyle m}
是质量。
对于一个垒高为 V0 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示
在1D情况下,粒子处于如下势垒中:
V
(
x
)
=
{
V
0
|
x
|
<
a
0
otherwise,
{\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}
其波函数的定态解为(
k
,
κ
{\displaystyle k,\kappa }
为常数)
ψ
(
x
)
=
{
A
r
exp
(
i
k
x
)
+
A
l
exp
(
−
i
k
x
)
x
<
−
a
,
B
r
exp
(
κ
x
)
+
B
l
exp
(
−
κ
x
)
|
x
|
≤
a
,
C
r
exp
(
i
k
x
)
+
C
l
exp
(
−
i
k
x
)
x
>
a
.
{\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+A_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }\exp(\kappa x)+B_{\mathrm {l} }\exp(-\kappa x)&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+C_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x>a.\end{cases}}}
量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像s轨道 和p轨道 。然而,由于不同的几何形态导致不同的束缚,三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。
量子点 是在把激子 在三个空间方向上束缚住的半导体 纳米结构 。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势(由外部的电极,掺杂,应变,杂质产生),两种不同半导体材料的界面(例如:在自组量子点中),半导体的表面(例如:半导体纳米晶体 ),或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中,但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似无限深方形阱 的模型来描述,能级位置取决于势阱宽度。
^ Hobson, Art. There are no particles, there are only fields . American Journal of Physics. 2013, 81 (211) [2014-09-25 ] . doi:10.1119/1.4789885 . (原始内容存档 于2015-02-10).
^
Hanle, P.A., Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory., Isis, December 1977, 68 (4), doi:10.1086/351880
^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9 (英语)
^ 薛定谔, 埃尔温 , Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen (PDF) 79 , Annalen der Physik, (Leipzig), 1926 [2013-06-10 ] , (原始内容 (PDF) 存档于2008-12-17)
[德文原稿]
^ 5.0 5.1 Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523 .
^ Atkins, Peter; de Paula, Julio. Physical Chemistry 8th. W. H. Freeman. 2006. ISBN 978-0716787594 .
^ 7.0 7.1 McMahon, David. Quantum Field Theory Demystified . McGraw Hill Professional. 2008. ISBN 9780071643528 .
^ 8.0 8.1 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 J. Griffiths, David; F. Schroeter, Darrell. CHAPTER 3 Formalism. Introduction to quantum mechanics Third edition. Cambridge University Press. 2018: 114–115. ISBN 978-1-107-18963-8 .