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海伦公式

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海伦公式Heron's formulaHero's formula),又譯希罗公式[1]希伦公式海龙公式,亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式相傳是亞歷山大港的希羅發現的,並可在其於公元60年的《Metrica》中找到其證明,利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。亦有認為早於阿基米德已經懂得這條公式,而由於《Metrica》是一部古代數學知識的結集,该公式的發現時期很有可能先於希羅的著作。[2]

假設有一個三角形,邊長分別為a, b ,c ,三角形的面積A可由以下公式求得:

A=\sqrt{s (s-a)(s-b)(s-c)},其中s=\frac{a+b+c}{2}

中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式,其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂併大斜幂,減中斜幂,餘半之,自乘於上;以小斜幂乘大斜幂,減上,餘四約之爲實,……開平方得積。”若以大斜记为a,中斜记为b,小斜记为c,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:

A=\sqrt{\frac1{4} \left[ a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2 \right]},其中a \ge b \ge c

像中国古代的数学家一样,他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相补原理得出。一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

证明[编辑]

利用三角公式和代数式变形来证明[编辑]

与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a, b ,c 的对角分别为A, B ,C ,则余弦定理

\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

从而有


\begin{align}
\sin C & = \sqrt{1-\cos^2 C} \\
& = \sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)} \\
& = \sqrt{\left( 1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) \left( 1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)} \\
& = \sqrt{\left[ \frac{(a+b)^2-c^2}{2ab} \right] \left[ \frac{c^2-(a-b)^2}{2ab} \right]} \\
& = \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab} \\
& = \frac{\sqrt{(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab} \\
& = \frac{2}{ab} \sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}
\end{align}

\begin{align}
A & = \frac{1}{2}ab \sin C \\
& = \frac{ab}{2} \cdot \frac{2}{ab} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}

利用毕氏定理和代数式变形来证明[编辑]

Triangle with notations 3.svg
b^2=h^2+d^2
a^2=h^2+(c-d)^2
a^2-b^2=c^2-2cd
d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}

\begin{align}
h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2\\
& = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\
& = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}\\
& = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\
& = \frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\
& = \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}
\end{align}

\begin{align}
A & = \frac{ch}{2}\\
& = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}

資料來源[编辑]

參見[编辑]

外部連結[编辑]