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海伦公式

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海伦-秦九韶公式(英語:Heron's formula或Hero's formula),又譯希罗公式[1]希伦公式海龍公式希倫公式希羅公式[1]希倫公式。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現,並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明,原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式,因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集,该公式的發現時間很有可能先於希羅的注作。[2]

假設有一個三角形,邊長分別為,三角形的面積可由以下公式求得:

,其中

中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式,其著作《數書九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂併大斜幂,減中斜幂,餘半之,自乘於上;以小斜幂乘大斜幂,減上,餘四約之爲實,……開平方得積。”若以大斜记为,中斜记为,小斜记为,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:

,其中

像其他中國古代的數學家一样,他的方法沒有證明。根據现代數學家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相補原理得出。一些中國學者將這個公式稱為秦九韶公式、又或者是稱為海王公式。

由於任何边的多邊形都可以分割成个三角形,所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

证明[编辑]

利用三角公式和代数式变形来证明[编辑]

与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边的对角分别为,则余弦定理

利用和平方差平方平方差等公式,从而有

利用勾股定理和代数式变形来证明[编辑]

Triangle with notations 3.svg
Heron formula.PNG

用旁心來證明[编辑]

中,

為內心,為三旁切圓。

四點共圓,並設此圓為圓

  1. 做鉛直線交,再延長,使之與圓交於點。再過做鉛直線交點。
  2. 先證明為矩形:,又(圓周角相等)。為矩形。因此,
  3. 內切圓半徑旁切圓半徑。且易知。由圓冪性質得到:。故

資料來源[编辑]

參見[编辑]

外部連結[编辑]