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海倫公式

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海龍公式Heron's formulaHero's formula),又譯希羅公式[1]希倫公式海倫公式海隆公式,亦稱「海倫公式」。此公式是亞歷山大港的希羅發現的,並可在其於公元60年的《Metrica》中找到其證明,利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。亦有認為早於阿基米德已經懂得這條公式,而由於《Metrica》是一部古代數學知識的結集,該公式的發現時期很有可能先於希羅的著作。[2]

假設有一個三角形,邊長分別為,三角形的面積可由以下公式求得:

,其中

中國南宋末年數學家秦九韶發現或知道等價的公式,其著作《數書九章》卷五第二題即三斜求積。「問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知為田幾何?」答曰:「三百十五頃.」其術文是:「以小斜冪併大斜冪,減中斜冪,餘半之,自乘於上;以小斜冪乘大斜冪,減上,餘四約之爲實,……開平方得積。」若以大斜記為,中斜記為,小斜記為,秦九韶的方法相當於下面的一般公式:

,其中

像中國古代的數學家一樣,他的方法沒有證明。根據現代數學家吳文俊的研究,秦九韶公式可由出入相補原理得出。一些中國學者將這個公式稱為秦九韶公式

由於任何邊的多邊形都可以分割成個三角形,所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候,不用測三角形的高,只需測兩點間的距離,就可以方便地匯出答案。

證明[編輯]

利用三角公式和代數式變形來證明[編輯]

與希羅在他的著作《Metrica》中的原始證明不同,在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊的對角分別為,則餘弦定理

利用和平方差平方平方差等公式,從而有

利用畢氏定理和代數式變形來證明[編輯]

Triangle with notations 3.svg

資料來源[編輯]

參見[編輯]

外部連結[編輯]