全等三角形

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全等三角形指兩個全等三角形,它們的三條及三個都應對等。全等三角形幾何全等之一。根據全等轉換,兩個全等三角形可以平移、旋轉、把軸對稱,或重疊等。

全等的數學符號為:

全等三角形的數學符號為:

定義[編輯]

當兩個三角形的對應,完全相等,便是全等三角形。要驗證兩個全等三角形,會以三個相等部分來驗證。結果為:

性質[編輯]

三角形ABC與三角形DEF全等。

全等三角形有以下性質:

  • 它們的對應相等。
  • 它們的對應相等。

三角形ABC與三角形DEF是全等時(如右圖),關係公式為:

下列三對邊長為「對應邊」:

下列三對角為「對應角」:


同時,所有對應邊長及角度均相等:

用途[編輯]

因為多邊形可由多個三角形組成,所以利用此方法,亦可驗證其它全等的多邊形

判定[編輯]

全等三角形的判定。

下列五種方法均可驗證全等三角形:

  • SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊):三邊長度相等。
  • SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊):兩邊,且夾角相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角):兩角,且夾邊相等。
  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊):兩角,且非夾邊相等。
  • RHS(Right angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊,又稱HL(斜邊、直角邊)):在一對直角三角形中,斜邊及另一條直角邊相等。

下列兩種方法不能驗證為全等三角形:

  • AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角):三角相等。
  • ASS(Angle-Side-Side,角、邊、邊):其中一角相等,且非夾角的兩邊相等。但當該角是直角鈍角時可驗證全等三角形,RHS便是該角是直角時的情形。

SSS[編輯]

這兩個三角形可以SSS來驗證全等。

如右圖

原因
邊(一) 共用邊
邊(二) 已知
邊(三) 已知

SAS[編輯]

這兩個三角形可以用SAS驗證全等。

如右圖

原因
邊(一) 共用邊
已知
邊(二) 已知

ASA[編輯]

這兩個三角形可以用ASA來驗證全等。

如右圖

原因
角(一) 共用角
邊(一) 已知
角(二) 已知

AAS[編輯]

這兩個三角形可以用AAS來驗證全等。

如右圖

原因
角(一) 對頂角
角(二) 已知
已知

RHS[編輯]

這兩個三角形可以RHS來驗證全等。

如右圖

原因
直角 直角ACB 直角DEF 已知
斜邊 已知
已知

不能驗證全等三角形的判定[編輯]

AAA[編輯]

AAA不能驗證三角形全等。

AAA(角、角、角),指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形,但AAA能判定相似三角形。在幾何學上,當兩條疊在一起時,便會形一個和一個。而且,若該無限地廷長,或無限地放大,該角度都不會改變。同理,在左圖中,該兩個三角形相似三角形,這兩個三角形的關係是放大縮小,因此角度不會改變。

這樣,便能得知若邊無限地根據比例加長,角度都保持不變。因此,AAA並不能判定全等三角形

ASS[編輯]

ASS不能驗證三角形全等。

ASS(角、邊、邊),指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。

在右圖中,分別有三角形ABC及三角形DEF,並提供了以下資訊:

那即是ASS。假如在右圖繪畫一個圓形,中心點為點E,半徑為。透過這個圓形便會發現,沒有改變下,會出現另一個與一樣長度的直線(即圖中的)。這樣便能證明ASS並不能驗證全等三角形,(除非已知。當是直角三角形時應稱為RHS)。

雖然如此,當≥ 90°時,。又,故可驗證全等三角形。

參見[編輯]

外部連結[編輯]