全等三角形

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全等三角形指兩個全等三角形,它們的三條及三個都應對等。全等三角形幾何全等之一。根據全等轉換,兩個全等三角形可以平移、旋轉、把軸對稱,或重疊等。

全等的數學符號為:

全等三角形的數學符號為:

當使用該符號時,需保證符號兩邊的角、邊一一對應。

定義[編輯]

當兩個三角形的對應,完全相等,便是全等三角形。要驗證兩個全等三角形,會以三個相等部分來驗證。結果為:

性質[編輯]

三角形ABC與三角形DEF全等。

全等三角形有以下性質:

  • 它們的對應相等。
  • 它們的對應相等。

三角形ABC與三角形DEF是全等時(如右圖),關係公式為:

下列三對邊長為「對應邊」:

下列三對角為「對應角」:


同時,所有對應邊長及角度均相等:

用途[編輯]

因為多邊形可由多個三角形組成,所以利用此方法,亦可驗證其它全等的多邊形

判定[編輯]

全等三角形的判定。

下列五種方法均可驗證全等三角形:

  • SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊;三邊):三邊長度相等。
  • SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊;兩邊一夾角):兩邊,且夾角相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角;兩角一夾邊):兩角,且夾邊相等。
  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊;兩角一對邊):兩角,且非夾邊相等。
  • RHS(Right angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊,又稱HL(斜邊、直角邊);斜股性質):在一對直角三角形中,斜邊及另一條直角邊相等。

下列兩種方法不能驗證為全等三角形:

  • AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角):三角相等。
  • SSA(Side-Side-Angle,邊、邊、角):其中一角相等,且非夾角的兩邊相等。但當該角是直角鈍角時可驗證全等三角形,RHS便是該角是直角時的情形。

以上的各方法也可通過三角函數的相關定理證明。這相當於解三角形,即三條邊三個角一共六個量、固定其中三個而判斷剩下三個量是否有唯一解。

SSS[編輯]

這兩個三角形可以SSS來驗證全等。

如右圖

原因
邊(一) 共用邊
邊(二) 已知
邊(三) 已知

此時三邊已知,三個角可分別由餘弦定理計算,由於 在 0°到 180°之間是單調的所以可保證解出唯一值。

SAS[編輯]

這兩個三角形可以用SAS驗證全等。

如右圖

原因
邊(一) 共用邊
已知
邊(二) 已知

此時兩邊夾一角已知,首先用餘弦定理計算第三邊,接下來與 SSS 的情況相同。

ASA[編輯]

這兩個三角形可以用ASA來驗證全等。

如右圖

原因
角(一) 共用角
邊(一) 已知
角(二) 已知

此時兩角夾一邊已知,通過三角形內角和得到第三角後用正弦定理計算剩下兩邊。

AAS[編輯]

這兩個三角形可以用AAS來驗證全等。

如右圖

原因
角(一) 對頂角
角(二) 已知
已知

仍然是做減法得出第三角,接下來與 ASA 相同。

RHS[編輯]

這兩個三角形可以RHS來驗證全等。

如右圖

原因
直角 直角ACB 直角DEF 已知
斜邊 已知
已知

勾股定理解出剩下一邊,即變成 SSS或SAS。

不能驗證全等三角形的條件[編輯]

AAA[編輯]

AAA不能驗證三角形全等。

AAA(角、角、角),指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形,但AAA能判定相似三角形。在幾何學上,當兩條疊在一起時,便會形一個和一個。而且,若該無限地廷長,或無限地放大,該角度都不會改變。同理,在左圖中,該兩個三角形相似三角形,這兩個三角形的關係是放大縮小,因此角度不會改變。

這樣,便能得知若邊無限地根據比例加長,角度都保持不變。因此,AAA並不能判定全等三角形

從正弦定理的角度看, 這個比例的比值可以任意縮放,因此無法唯一確定三邊長度。

SSA[編輯]

SSA不能驗證三角形全等。

SSA(邊、邊、角),指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。

在右圖中,分別有三角形ABC及三角形DEF,並提供了以下資訊:

那即是SSA。假如在右圖繪畫一個圓形,中心點為點E,半徑為。透過這個圓形便會發現,沒有改變下,會出現另一個與一樣長度的直線(即圖中的)。這樣便能證明SSA並不能驗證全等三角形,(除非已知。當是直角三角形時應稱為RHS)。

雖然如此,當≥ 90°時,。又,故可驗證全等三角形。

再次使用正弦定理, 其中已知 ,可解出 ,但 在 0°到 180°上先升後降導致 有兩解,即 可能是鈍角或銳角(或退化為只有一解是直角的特殊情況,此處略去),分別對應圖中的 。然而若已知該三角形是直角或鈍角三角形時,可以視情況排除掉其中的一個解、進而唯一確定 ,此時做減法得出 後即可用餘弦定理解得最後一邊

參見[編輯]

外部連結[編輯]