在平面几何中,欧拉线,或稱尤拉線(图中的红线)是指过三角形的垂心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和九点圆圆心(红点)的一条直线。莱昂哈德·欧拉,也稱尤拉,证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意內心一般不在歐拉線上,除了等腰三角形外。
如图
分别是
的垂心,重心,外心。
設
為直線
和
外接圆的交點,並连结
。
(1)
是直徑,
且
。
又
是垂心,
且
。
,
。
为平行四边形。
->
又
分别是
的中点,
,
(2)
作
边上的中线
连结
设
交
于点
,
,
即
的重心
的垂心
重心
外心
三点共线
直线
即欧拉线
九点圆的圆心也在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点
如图,H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心,三角形的三边中点I i,三高的垂足Hi,和顶点到垂心的三条线段的中点J i
令HΩ和J1I1的交点为K,∵BΩ=CΩ,BI1=CI1,∴ΩI1⊥BC,又∵AH1⊥BC,∴ΩI1∥AH1。
∵∠GΩI1=∠AHG,∠GAH=∠GI1Ω,∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1,∴AH=2ΩI1,即ΩI1=J1H。
∵ΩI1∥AH1, J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。
同理J2K=KI2, J3K=KI3。 可知K为九点圆圆心。
∵点K在HΩ上,HK = KΩ
∴九点圆圆心在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点。
参考资料[编辑]
- 数学题解辞典·平面几何. 上海辞书出版社.
外部链接[编辑]