歐拉線
在平面幾何中,歐拉線,或稱尤拉線(圖中的紅線)是指過三角形的垂心(藍)、外心(綠)、重心(黃)和九點圓圓心(紅點)的一條直線。萊昂哈德·歐拉,也稱尤拉,證明了在任意三角形中,以上四點共線。歐拉線上的四點中,九點圓圓心到垂心和外心的距離相等,而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。注意內心一般不在歐拉線上,除了等腰三角形外。
如圖
分別是
的垂心,重心,外心。
設
為直線
和
外接圓的交點,並連結
。
(1)
是直徑,
且
。
又
是垂心,
且
。
,
。
為平行四邊形。
->
又
分別是
的中點,
,
(2)
作
邊上的中線
連結
設
交
於點
,
,
即
的重心
的垂心
重心
外心
三點共線
直線
即歐拉線
九點圓的圓心也在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點
如圖,H、G、Ω分別是△ABC的垂心、重心、外心,三角形的三邊中點I i,三高的垂足Hi,和頂點到垂心的三條線段的中點J i
令HΩ和J1I1的交點為K,∵BΩ=CΩ,BI1=CI1,∴ΩI1⊥BC,又∵AH1⊥BC,∴ΩI1∥AH1。
∵∠GΩI1=∠AHG,∠GAH=∠GI1Ω,∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1,∴AH=2ΩI1,即ΩI1=J1H。
∵ΩI1∥AH1, J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。
同理J2K=KI2, J3K=KI3。 可知K為九點圓圓心。
∵點K在HΩ上,HK = KΩ
∴九點圓圓心在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點。
- 数学题解辞典·平面几何. 上海辭書出版社.