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偽多邊形

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偽多邊形
超無限邊形
Pseudogon example.png
偽多邊形(Pseudogon)
雙曲正無限邊形
雙曲面上的偽多邊形。
類型 正多邊形
二維雙曲鑲嵌
iπ/λ
頂點 iπ/λ
施萊夫利符號 {iπ/λ}
{∞}
考克斯特圖 CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png
對稱群 [iπ/λ]
內角 雙曲平角
對偶 自身對偶
特性 非嚴格凸, 圓內接多邊形, 等邊多邊形, 等角多邊形, 雙曲線, 發散

幾何學中,偽多邊形英语:pseudogon)又稱為超無限邊形,是一種位於雙曲平面上的無限邊形,具有偽多邊形群英语Coxeter_notation#Rank two groups(pseudogonal group)的對稱性諾曼·約翰遜英语Norman Johnson (mathematician)將一般的發散鏡射形式的無限邊形稱為偽多邊形,其外接圓為極限圓,正偽多邊形在施萊夫利符號中用{iπ/λ}表示,其中λ表示發散垂直鏡射的週期距離[1],用來表示其拓樸結構具有比無限邊形更多的邊與頂點,換句話說,若其不為發散鏡射形式則只能看做為普通的無限邊形,也因此偽多邊形無法在平面上存在。此外,偽多邊形也可以解釋為未完全具備多邊形性質的多邊形[2],此種情況下未必需要位於雙曲面,這種偽多邊形其英文也可以寫為pseudo polygon[3][4]

正偽多邊形[编辑]

位於三階偽多邊形(iπ/λ,λ=π/9)的偽多邊形與其外接圓超圓形。

正偽多邊形英语:regular pseudogon)又稱雙曲正無限邊形,是一種具有[iπ/λ]考克斯特群的羅氏無限邊形,依據其考克斯特群,其邊數和頂點數將會是iπ/λ個,事實上它頂點數為正無窮大,邊長為λ,其中iπ/λ用來表示超平形(ultraparallel)的鏡射,虛數值使鏡射變換的角度以一個雙曲線的形式,而存在等式cos(π/n) = cos(πλ/(iπ)) = cosh(2λ),而λ∈{ π/n | n∈Z }。

其亦可以視為二維空間的雙曲密鋪,和三維雙曲密鋪如:正七邊形鑲嵌七階三角形鑲嵌等,做類比[5]。其屬於非緊湊空間

正偽多邊形無法在平面上存在,但可以構造在雙曲面。其可以擁有外接圓內切圓,但他們必須是雙曲超圓形。

扭歪偽多邊形[编辑]

扭歪偽多邊形(英语:Skew pseudogon)是偽多邊形對應的扭歪多邊形,即位於非緊雙曲空間的雙曲扭歪無限邊形。

H2 tiling 23j9-2.png
圍繞著偽多邊形的三角形也可以構造出等邊扭歪偽多邊形
外接圓為超圓形的無限邊形
{3,7}的皮特里多邊形 t{3,7}的皮特里多邊形
Order-7 triangular tiling petrie polygon.png
正扭歪
Quasiregular skew apeirogon in truncated order-7 triangular tiling.png
半正扭歪

鑲嵌與密鋪[编辑]

正偽多邊形不能構成平面鑲嵌,但可以構成雙曲鑲嵌,如三階偽多邊形鑲嵌,其考克斯特記號計為CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png。該鑲嵌可以視為偽多邊形在三維空間的類比,稱為偽多面體(pseudohedron)。

二個偽多邊形即可完全鑲嵌整個雙曲平面,稱為二階偽多邊形鑲嵌

羅式鑲嵌
半正
∞.∞ 2 4.4.∞ 3.3.3.∞
H2 tiling 22i-1.png H2 tiling 22i-4.png H2 tiling 22i-6.png H2 tiling 22i-8.png
{iπ/λ, 2}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2, iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
t{2, iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png
sr{2, iπ/λ}
CDel node h.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
半正偽多邊形
對稱群:[iπ/λ,iπ/λ], (*iπ/λ iπ/λ 2) [iπ/λ,iπ/λ]+, (iπ/λ iπ/λ 2)
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel ultra.pngCDel node h.png
H2 tiling 29j9j-1.png H2 tiling 29j9j-3.png H2 tiling 29j9j-2.png H2 tiling 29j9j-7.png H2 tiling 29j9j-4.png H2 tiling 29j9j-6.png H2 tiling 29j9j-7.png
{9i,9i}
超無限階
偽多邊形鑲嵌
t{9i,9i}
截角超無限階
偽多邊形鑲嵌
r{9i,9i}
截半超無限階
偽多邊形鑲嵌
2t{9i,9i}=t{9i,9i}
截角超無限階
偽多邊形鑲嵌
2r{9i,9i}={9i,9i}
超無限階
偽多邊形鑲嵌
rr{9i,9i}
小斜方截半
超無限階
偽多邊形鑲嵌
tr{9i,9i}
大斜方截半
超無限階
偽多邊形鑲嵌
sr{9i,9i}
扭稜超無限階
偽多邊形鑲嵌
[iπ/λ,3]非緊湊雙曲半正鑲嵌系列
對稱群:[iπ/λ,3], (*∞32) [iπ/λ,3]+
(∞32)
[1+,iπ/λ,3]
(*∞33)
[iπ/λ,3+]
(3*∞)
考克斯特記號 CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
CDel node h0.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel branchu 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel branchu 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel branchu 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png or CDel branchu 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel branchu 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png or CDel branchu 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel ultra.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
= CDel branchu hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png
圖像 H2 tiling 23j9-1.png H2 tiling 23j9-3.png H2 tiling 23j9-2.png H2 tiling 23j9-6.png H2 tiling 23j9-4.png H2 tiling 23j9-5.png H2 tiling 23j9-7.png
頂點圖 ∞.∞.∞ 3.∞.∞ 3.∞.3.∞ ∞.6.6 3 3.4.∞.4 4.6.∞ 3.3.3.3.∞ 3.∞.3.∞.3.∞
類比 {∞,3} t{∞,3} r{∞,3} t{3,∞} {3,∞} rr{∞,3} tr{∞,3} sr{∞,3} h{∞,3} h2{∞,3} s{3,∞}
半正對偶
考克斯特記號 CDel node f1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel ultra.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel ultra.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel ultra.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
圖像 H2 tiling 23j9-4.png Order-9i triakis triang til.png Order-9i-3 qreg rhombic til.png Order3 9i-kis 9i-pseudogonal til.png H2 tiling 23j9-1.png Deltoidal tri-9i-pseudogonal til.png Order-3 9i-kis 9i-pseudogonal tiling.png
頂點布局
類比
V∞3 V3.∞.∞ V(3.∞)2 V6.6.∞ V3 V4.3.4.∞ V4.6.∞ V3.3.3.3.∞ V(3.∞)3 V3.3.3.3.3.∞

高維類比[编辑]

三階七邊形鑲嵌蜂巢體的龐加萊模型,每個洞都是一個正七邊形鑲嵌[6]

偽多面體(pseudohedron)是偽多邊形在三維空間的類比,即在三維非緊雙曲空間中的無限面體,又稱為超無限面體。例如三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌,由於要使每個頂點都是3個正七邊形鑲嵌的公共頂點使得圖形被變換到非緊雙曲空間中,即幾何中心跑到龐加萊模型外,其外接球為三維雙曲極限球。

偽多胞體(pseudotope)則為非緊雙曲鑲嵌在四維或更高維度類比,例如四階一百二十胞體堆砌英语Order-4 120-cell honeycomb[7]

但嚴格來說,偽多胞形(pseudotope)只會在二維雙曲空間討論,由於二維的考克斯特群表達到無窮之後仍為平面,因此只能用雙曲徑社的方式以虛數表達雙曲幾何圖形。

赫爾曼莫金記號 軌道流形英语Orbifold 考克斯特 考克斯特圖英语Coxeter diagram
有限
Zn n n• [n]+ CDel node h2.pngCDel n.pngCDel node h2.png n
Dn nm *n• [n] CDel node.pngCDel n.pngCDel node.png 2n
仿射
Z ∞• [∞]+ CDel node h2.pngCDel infin.pngCDel node h2.png
Dih m *∞• [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
雙曲
Z [πi/λ]+ CDel node h2.pngCDel ultra.pngCDel node h2.png
Dih [πi/λ] CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Norman Johnson, Geometries and symmetries, (2015), Chapter 11. Finite symmetry groups, Section 11.2 The polygonal groups. p.141
  2. ^ HSKR, K. L. Dr. cjl. 1989. PhD Thesis. SIMON FRASER UNIVERSITY.
  3. ^ 台北盆地聚落發展之空間分析 國立台灣大學地理環境資源學系暨研究所 2005-10-31
  4. ^ 中學地理科常用英漢辭彙 香港教育局
  5. ^ Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  p.296, Table II: Regular honeycombs
  6. ^ John Baez, Visual insights: {7,3,3} Honeycomb (2014/08/01)
  7. ^ Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, p212-213)