正圖形列表

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正圖形範例
正多邊形二維
星形
Regular pentagon.svg
{5}
Star polygon 5-2.svg
{5/2}
正多面體三維
星形
Dodecahedron.png
{5,3}
Small stellated dodecahedron.png
{5/2,5}
正鑲嵌圖(二維)
平面 雙曲
Uniform tiling 44-t0.png
{4,4}
Uniform tiling 54-t0.png
{5,4}
正多胞體四維
星形
Schlegel wireframe 120-cell.png
{5,3,3}
Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png
{5/2,5,3}英语Small stellated 120-cell
正堆砌體三維
平面 雙曲
Cubic honeycomb.png
{4,3,4}
Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png
{5,3,4}英语Order-4 dodecahedral honeycomb

此頁面列出了所有的歐幾里得空間、雙曲空間和球形空間的正圖形正多胞形施萊夫利符號可以描述每一個正圖形正多胞形,他被廣泛使用如下面的每一個緊湊的參考名稱。

正圖形正多胞形可由其維度分類,也可以分成凸、非凸(星形、複合或凹)和無窮等形式。非凸形式(或凹形式)使用與凸形式相同的頂點,但面(或邊)有相交。無限的形式則是在一較低維的歐幾里得空間中密鋪(鑲嵌或堆砌)。

無限的形式可以擴展到密鋪雙曲空間。雙曲空間是和正常的空間有相同的規模,但平行線在一定的距離內會分岔得越來越遠。這使得頂點值可以存在負角度的缺陷,例如製作一個由個正三角形組成的頂點,它們可以被平放。它不能在普通平面上完成的,但可以在一個雙曲平面上構造。

概觀[编辑]

此表顯示正圖形正多胞形在各個維度的匯總。

有限[註 1] 平面[註 2] 雙曲[註 3] 複合[註 4] 抽象
維度 非凸 密鋪
星形 扭歪 星形 緊湊 星形 仿緊 非緊 星形
-1 0 0 0 0 0[註 5] 0 0 0 0 0 0 1英语Abstract_polytope[註 6]
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1[註 7] 0 0 0 0 0 0 1
2 1 1 0 0 0
3 5 4 ? 3 5 0
4 6 10 ? 1 4 0 11 26 20
5 3 0 ? 3 5 4 2 186[1] 0 0
6 3 0 ? 1 0 0 5 66[1] 0 0
7 3 0 ? 1 0 0 0 36[1] 3 0
8 3 0 ? 1 0 0 0 13[1] 6 0
9 3 0 ? 1 0 0 0 10[1] 0 0
10 3 0 ? 1 0 0 0 8[1] 0 0
11 3 0 ? 1 0 0 0 4[1] 0 0
12+ 3 0 ? 1 0 0 0 [2] [註 8] 0
不存在 存在唯一 有限個 無窮 不一定

零維或以下的正圖形[编辑]

上圖以正方形展示一個二維正多胞形的組成元素:一個二維正多胞形(正方形)、四個一維正多胞形(線段)、四個零維正多胞形(頂點)和一個負一維正多胞形(空集合

在維數為零的空間能存在的多胞形只有點[3],無法有其他幾何或拓樸組合,而為數比零更低則是在抽象理論英语Abstract_polytope中的虛無多胞形(英语:Null polytope)代表一種空集合,在抽象理論英语Abstract_polytope中被看作是一種負一維的多胞形[4],但其是一種抽象多胞形英语Abstract_polytope。然而,在數學上,零維空間是按以下的不等價定義之一,維數為零的拓撲空間:按覆蓋維數的概念,一個拓撲空間是零維空間,若空間的任何開覆蓋,都有一個加細,使得空間內每一點,都在這個加細的恰好一個開集內;或者按小歸納維數的概念,一個拓撲空間是零維空間,若空間有一個由閉開集組成的。這兩個概念對可分可度量化空間為等價[5][6]。而負一維空間僅是在抽象理論英语Abstract_polytope表示一個比零維多胞形更低維度的一個元詞

依據正圖形的定義,一個多胞形必須要具備嚴格的英语Flag (geometry)可遞特性,對於該幾何體內所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質,並且每一個元素皆為一個正圖形,而零維多胞形的元素僅有{F−1, F0}、負一維多胞形的元素僅有{F−1},幾何上所有零維多胞形都是正多胞形,一般地,n維正圖形被定義為有正維面英语Facet (geometry)[(n − 1)-表面]和正頂點圖,這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的,但這一定義並不適用於抽象多胞形英语,而負一維的多胞形的僅有一種抽象多胞形英语Abstract_polytope

另外,正零邊形也可以視為零維或以下的正圖形,或看做是虛無多胞形(英语:Null polytope)。

一維正圖形[编辑]

Coxeter node markup1.png 考克斯特記號終結點代表一個鏡射面,周圍有環的節點表示其不位於一個平面。 ditel, { }, CDel node 1.png 是點 p和其鏡射像 p'並且中間被夾出一段線段

在維數為一的一維空間裡存在的多胞形是由兩個端點包圍住的一個封閉一維空間,即線段。在定義上,這個一維多胞形(或稱1-多胞形)在施萊夫利符號中以: { } 表示[8][9],而在考克斯特記號中則以一個有環的節點:CDel node 1.png表示[7]諾曼·約翰遜英语Norman Johnson (mathematician)將之稱為ditel,並在施萊夫利符號中以{ }表示[10]。依據正圖形的定義,一個多胞形必須要具備嚴格的旗可遞特性,對於該幾何體內所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質,並且每一個元素皆為一個正圖形,而一維多胞形的旗包含{F−1, F0, F1}、其元素僅有{F−1, A, B, AB},其中,A、B為線段兩端點,由於幾何上所有零維多胞形都是正多胞形,因此所有的線段都會符合旗可遞特以及所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質,並且每一個元素皆為一個正圖形,因此在幾何上所有的一維多胞形都是正多胞形。

雖然線段做為一個多胞形是微不足道的,但它似乎是多邊形和其他更高維度圖形形成邊緣所需的一個元素[11]。在一維以及以下(包括一維、零維、負一維)空間中的多胞形都是正多胞形,包含了一維的線段、零維的點和負一維的抽象虛無多胞形都是組成多邊形和其他更高維度圖形的重要元素之一,比如一維的線段組成多邊形的邊、零維的點組成多邊形的頂點以及代表集合子集中空集合的抽象虛無多胞形都是多邊形的組成元素(子集),依據正圖形定義,若這些低為度不存在正圖形,則也不會有正多邊形和其他更高維度的正圖形。

在柱體的定義裡,線段(一維)可以被看做是點(零維)的柱體,在施萊夫利符號中以{ }×{p}表示,而在考克斯特記號中則以笛卡兒積的形式CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png表示一個線段和多邊形[12]

二維正多邊形[编辑]

二維凸正多邊形[编辑]

名稱 正三角形
2-單體
正方形
2-正軸形
2-立方形
正五邊形 正六邊形 正七邊形 正八邊形
施萊夫利符號 {3} {4} {5} {6} {7} {8}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
圖像 Regular triangle.svg Regular quadrilateral.svg Regular pentagon.svg Regular hexagon.svg Regular heptagon.svg Regular octagon.svg
名稱 正九邊形 正十邊形 正十一邊形 正十二邊形 正十三邊形 正十四邊形
施萊夫利 {9} {10} {11} {12} {13} {14}
考克—迪肯 CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 13.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 14.pngCDel node.png
圖像 Regular nonagon.svg Regular decagon.svg Regular hendecagon.svg Regular dodecagon.svg Regular tridecagon.svg Regular tetradecagon.svg
名稱 正十五邊形 正十六邊形 正十七邊形 正十八邊形 正十九邊形 正二十邊形 ...正p邊形
施萊夫利 {15} {16} {17} {18} {19} {20} {p}
考克—迪肯 CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 16.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 17.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 18.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 19.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png
圖像 Regular pentadecagon.svg Regular hexadecagon.svg Regular heptadecagon.svg Regular octadecagon.svg Regular enneadecagon.svg Regular icosagon.svg
邊數較大的正多邊形
名稱 二百五十七邊形 正65537邊形 一百萬邊形
可作圖? 可作圖[13][14] 可作圖[15][16] 不可
施萊夫利符號 {257}[17] {65537}[18] {1000000}[19]
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel 5.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel 5.pngCDel 5.pngCDel 3x.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
圖像 257-gon (3rd version).svg 65537-gon.svg Circle - black simple.svg[20][註 9]

退化 (圓形)[编辑]

名稱 正一邊形 正二邊形
施萊夫利符號 {1}[21] {2}[22]
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node.png CDel node 1.png
圖像 Henagon.svg Digon.svg

星形多邊形[编辑]

名稱 五角星 七角星 八角星 九角星 十角星 ...n角星英语Star polygon
施萊夫利符號 {5/2}[23] {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} {p/q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel dq.pngCDel node.png
圖像 Star polygon 5-2.svg Star polygon 7-2.svg Star polygon 7-3.svg Star polygon 8-3.svg Star polygon 9-2.svg Star polygon 9-4.svg Star polygon 10-3.svg  
20邊以下的正星形多邊形
Regular star polygon 11-2.svg
{11/2}
Regular star polygon 11-3.svg
{11/3}
Regular star polygon 11-4.svg
{11/4}
Regular star polygon 11-5.svg
{11/5}
Regular star polygon 12-5.svg
{12/5}
Regular star polygon 13-2.svg
{13/2}
Regular star polygon 13-3.svg
{13/3}
Regular star polygon 13-4.svg
{13/4}
Regular star polygon 13-5.svg
{13/5}
Regular star polygon 13-6.svg
{13/6}
Regular star polygon 14-3.svg
{14/3}
Regular star polygon 14-5.svg
{14/5}
Regular star polygon 15-2.svg
{15/2}
Regular star polygon 15-4.svg
{15/4}
Regular star polygon 15-7.svg
{15/7}
Regular star polygon 16-3.svg
{16/3}
Regular star polygon 16-5.svg
{16/5}
Regular star polygon 16-7.svg
{16/7}
Regular star polygon 17-2.svg
{17/2}
Regular star polygon 17-3.svg
{17/3}
Regular star polygon 17-4.svg
{17/4}
Regular star polygon 17-5.svg
{17/5}
Regular star polygon 17-6.svg
{17/6}
Regular star polygon 17-7.svg
{17/7}
Regular star polygon 17-8.svg
{17/8}
Regular star polygon 18-5.svg
{18/5}
Regular star polygon 18-7.svg
{18/7}
Regular star polygon 19-2.svg
{19/2}
Regular star polygon 19-3.svg
{19/3}
Regular star polygon 19-4.svg
{19/4}
Regular star polygon 19-5.svg
{19/5}
Regular star polygon 19-6.svg
{19/6}
Regular star polygon 19-7.svg
{19/7}
Regular star polygon 19-8.svg
{19/8}
Regular star polygon 19-9.svg
{19/9}
Regular star polygon 20-3.svg
{20/3}
Regular star polygon 20-7.svg
{20/7}
Regular star polygon 20-9.svg
{20/9}

扭歪多邊形[编辑]

鋸齒扭歪多邊形的例子
扭歪六邊形 扭歪八邊形 扭歪十邊形
D3d, [2+,6] D4d, [2+,8] D5d, [2+,10]
{3}#{ } {4}#{ } {5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ }
Skew polygon in triangular antiprism.png Skew polygon in square antiprism.png Regular skew polygon in pentagonal antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic crossed-antiprism.png

三維正圖形[编辑]

三維凸正多面體[编辑]

名稱 施萊夫利符號
{p,q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
圖像
(透視圖)
圖像
(立體圖)
圖像
(球面投影)
英语Face (geometry)
{p}
頂點
{q}
對稱群 對偶
正四面體
3-單體
三角錐
{3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Tetrahedron.svg Tetrahedron.png Uniform tiling 332-t0-1-.png 4
{3}
6 4
{3}
Td (自身對偶)
正方體
3-立方形
(正六面體)
(四角柱)
{4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Hexahedron.svg Hexahedron.png Uniform tiling 432-t0.png 6
{4}
12 8
{3}
Oh 正八面體
正八面體
3-正軸體
正三角反棱柱
{3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Octahedron.svg Octahedron.png Uniform tiling 432-t2.png 8
{3}
12 6
{4}
Oh 立方體
正十二面體 {5,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Dodecahedron.svg Dodecahedron.png Uniform tiling 532-t0.png 12
{5}
30 20
{3}
Ih 正二十面體
正二十面體 {3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Icosahedron.svg Icosahedron.png Uniform tiling 532-t2.png 20
{3}
30 12
{5}
Ih 正十二面體

退化 (球面)[编辑]

在球面幾何學中,多面形 {2,n} 和多邊形二面體 {n,2} 以及一面體 {1,1} 也可以被視為是一種正多面體(正球面鑲嵌)。

他們包括:

名稱 施萊夫利
{p,q}
考克斯特
記號
英语Coxeter-Dynkin diagram
圖像
(球面)
英语Face (geometry)
{p}
頂點
{q}
對稱性英语List of spherical symmetry groups 對偶
一邊形一面體 {1,1} CDel node.png Spherical henagonal henahedron.png 1
{1}
0 1
{1}
C1
(*1)
自身對偶
一邊形二面體 {1,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png Hengonal dihedron.png 2
{1}
1 1
{2}
C1v
(*22)
一面形
一面形 {2,1} CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Henagonal hosohedron.png 1
{2}
1 2
{1}
C1v
(*22)
一邊形二面體
二邊形二面體
二面形
{2,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Digonal dihedron.png 2
{2}
2 2
{2}
D2h
(*222)
自身對偶
三面形 {2,3} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Trigonal hosohedron.png 3
{2}
3 2
{3}
D3h
(*322)
三角形二面體
三角形二面體 {3,2} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Trigonal dihedron.png 2
{3}
3 3
{2}
D3h
(*322)
三面形
六面形 {2,6} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png Hexagonal hosohedron.png 6
{2}
6 2
{6}
D6h
(*622)
六邊形二面體
六邊形二面體 {6,2} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Hexagonal dihedron.png 2
{6}
6 6
{2}
D6h
(*622)
六面形

星形正多面體[编辑]

名稱 半透明
圖像
立體
圖像
球面鑲嵌
圖像
星狀圖 施萊夫利
{p,q}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram

{p}
頂點
{q}
頂點圖
χ 密度英语Density (polytope) 對稱姓 對偶
小星形十二面體 SmallStellatedDodecahedron.jpg Small stellated dodecahedron.png Small stellated dodecahedron tiling.png First stellation of dodecahedron facets.svg {5/2,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
Pentagram.svg
30 12
{5}
Pentagon.svg
−6 3 Ih
[5,3]
(*532)
大十二面體
大十二面體 GreatDodecahedron.jpg Great dodecahedron.png Great dodecahedron tiling.png Second stellation of dodecahedron facets.svg {5,5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
12
{5}
Pentagon.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
−6 3 Ih
[5,3]
(*532)
小星形十二面體
大星形十二面體 GreatStellatedDodecahedron.jpg Great stellated dodecahedron.png Great stellated dodecahedron tiling.png Third stellation of dodecahedron facets.svg {5/2,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
Pentagram.svg
30 20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
2 7 Ih
[5,3]
(*532)
大二十面體
大二十面體 GreatIcosahedron.jpg Great icosahedron.png Great icosahedron tiling.png Sixteenth stellation of icosahedron facets.png {3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
2 7 Ih
[5,3]
(*532)
大星形十二面體

扭歪正多面體[编辑]

考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體極其類似物》[24]中列出了較多的一系列扭歪多面體,其中有四種是正圖形

4-simplex t03.svg 4-simplex t12.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t12 F4.svg
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4 | 3}

四維正圖形[编辑]

四維凸正多胞體[编辑]

名稱
施萊夫利
{p,q,r}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
英语Face (geometry)#Cell (geometry)
{p,q}
英语Face (geometry)
{p}

{r}
頂點
{q,r}
對偶
{r,q,p}
正五胞體
四維單純形
{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 5
{3,3}
10
{3}
10
{3}
5
{3,3}
自身對偶
正八胞體
四維超方形
超立方體
{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 8
{4,3}
24
{4}
32
{3}
16
{3,3}
正十六胞體
正十六胞體
四維正軸體
{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 16
{3,3}
32
{3}
24
{4}
8
{3,4}
超立方體
正二十四胞體 {3,4,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24
{3,4}
96
{3}
96
{3}
24
{4,3}
自身對偶
正一百二十胞體
四維類五邊形體
{5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 120
{5,3}
720
{5}
1200
{3}
600
{3,3}
正六百胞體
正六百胞體
四維類二十面體體
{3,3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 600
{3,3}
1200
{3}
720
{5}
120
{3,5}
正一百二十胞體
正五胞體 超立方體 正十六胞體 正二十四胞體 正一百二十胞體 正六百胞體
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
線架圖 (皮特里多邊形英语Petrie polygon) 歪斜正投影圖英语orthographic projection
Complete graph K5.svg 4-cube graph.svg 4-orthoplex.svg 24-cell graph F4.svg Cell120Petrie.svg Cell600Petrie.svg
不透明正投影圖英语orthographic projection
Tetrahedron.png
被正四面體包覆
(以頂點與胞為中心)
Hexahedron.png
被立方體包覆
(以胞為中心)
16-cell ortho cell-centered.png
被立方體包覆
(以胞為中心)
Ortho solid 24-cell.png
被截半立方體包覆
(以胞為中心)
Ortho solid 120-cell.png
被倒角十二面體包覆
(以胞為中心)
Ortho solid 600-cell.png
被五角化截半二十面體包覆
(以頂點為中心)
施萊蓋爾英语Schlegel diagram線框 (透視投影
Schlegel wireframe 5-cell.png
(以胞為中心)
Schlegel wireframe 8-cell.png
(以胞為中心)
Schlegel wireframe 16-cell.png
(以胞為中心)
Schlegel wireframe 24-cell.png
(以胞為中心)
Schlegel wireframe 120-cell.png
(以胞為中心)
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
(以頂點為中心)
球極平面投影線框 (超球面堆砌
Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png

退化 (超球面)[编辑]

多維面形
施萊夫利
{2,p,q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png

{2,p}π/q

{2}π/p,π/q
頂點 頂點圖
{p,q}
對稱性 對偶多胞形
{2,3,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4
{2,3}π/3
Spherical trigonal hosohedron.png
6
{2}π/3,π/3
4 2 {3,3}
Uniform tiling 332-t0-1-.png
[2,3,3] {3,3,2}
{2,4,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 6
{2,4}π/3
Spherical square hosohedron.png
12
{2}π/4,π/3
8 2 {4,3}
Uniform tiling 432-t0.png
[2,4,3] {3,4,2}
{2,3,4} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 8
{2,3}π/4
Spherical trigonal hosohedron.png
12
{2}π/3,π/4
6 2 {3,4}
Uniform tiling 432-t2.png
[2,4,3] {4,3,2}
{2,5,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12
{2,5}π/3
Spherical trigonal hosohedron.png
30
{2}π/5,π/3
20 2 {5,3}
Uniform tiling 532-t0.png
[2,5,3] {3,5,2}
{2,3,5} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 20
{2,3}π/5
Spherical pentagonal hosohedron.png
30
{2}π/3,π/5
12 2 {3,5}
Uniform tiling 532-t2.png
[2,5,3] {5,3,2}

扭歪多胞體[编辑]

四維的扭歪多胞體是一些位於五維或以上的扭歪圖形。

五維正圖形[编辑]

五維凸正多胞體[编辑]

名稱 施萊夫利
{p,q,r,s}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
維面
{p,q,r}

{p,q}

{p}
頂點 面圖
{s}
邊圖
{r,s}
頂點圖
{q,r,s}
五維正六胞體 {3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6
{3,3,3}
15
{3,3}
20
{3}
15 6 {3} {3,3} {3,3,3}
五維超正方體 {4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10
{4,3,3}
40
{4,3}
80
{4}
80 32 {3} {3,3} {3,3,3}
五維正三十二胞體 {3,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
32
{3,3,3}
80
{3,3}
80
{3}
40 10 {4} {3,4} {3,3,4}
5-simplex t0.svg
五維正六胞體
5-cube graph.svg
五維超正方體
5-orthoplex.svg
五維正三十二胞體

六維正圖形[编辑]

六維凸正多胞體[编辑]

名稱 施萊夫利 頂點 維脊 維面 χ
六維正七胞體英语6-simplex {3,3,3,3,3} 7 21 35 35 21 7 0
六維超立方體英语6-cube {4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 0
六維正六十四胞體英语6-orthoplex {3,3,3,3,4} 12 60 160 240 192 64 0
6-simplex t0.svg
六維正七胞體英语6-simplex
6-cube graph.svg
六維超立方體英语6-cube
6-orthoplex.svg
六維正六十四胞體英语6-orthoplex

七維正圖形[编辑]

七維凸正多胞體[编辑]

名稱 施萊夫利 頂點 維峰 維脊 維面 χ
七維正八胞體英语7-simplex {3,3,3,3,3,3} 8 28 56 70 56 28 8 2
七維超立方體英语7-cube {4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 14 2
七維正一百二十八胞體英语7-orthoplex {3,3,3,3,3,4} 14 84 280 560 672 448 128 2
7-simplex t0.svg
七維正八胞體英语7-simplex
7-cube graph.svg
七維超立方體英语7-cube
7-orthoplex.svg
七維正一百二十八胞體英语7-orthoplex

七維以上正圖形[编辑]

自五維開始,正圖形皆只有三種——单纯形超方形以及正轴形

n維凸正多包體[编辑]

從五維開始,凸正多包體都只有三種[25]

名稱 施萊夫利
符號
{p1,...,pn−1}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
記號
k維胞 / 面 維面 頂點圖 對偶
n維單體 {3n−1} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3n−2} {3n−2} 自身對偶
n維超立方體 {4,3n−2} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {4,3n−3} {3n−2} n維正軸體
n維正軸體 {3n−2,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {3n−2} {3n−3,4} n維超立方體

八維[编辑]

名稱 施萊夫利 頂點 4維胞 維峰 維脊 維面 χ
八維單體英语8-simplex {3,3,3,3,3,3,3} 9 36 84 126 126 84 36 9 0
八維超立方體英语8-cube {4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 0
八維正軸體英语8-orthoplex {3,3,3,3,3,3,4} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0
8-simplex t0.svg
八維單體英语8-simplex
8-cube.svg
八維超立方體英语8-cube
8-orthoplex.svg
八維正軸體英语8-orthoplex

九維[编辑]

名稱 施萊夫利 頂點 4維胞 5維胞 維峰 維脊 維面 χ
九維單體英语9-simplex {38} 10 45 120 210 252 210 120 45 10 2
九維超立方體英语9-cube {4,37} 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 2
九維正軸體英语9-orthoplex {37,4} 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 2
9-simplex t0.svg
九維單體英语9-simplex
9-cube.svg
九維超立方體英语9-cube
9-orthoplex.svg
九維正軸體英语9-orthoplex

十維[编辑]

名稱 施萊夫利 頂點 4維胞 5維胞 6維胞 維峰 維脊 維面 χ
十維單體 {39} 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 0
十維超立方體英语10-cube {4,38} 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 0
十維正軸體英语10-orthoplex {38,4} 20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 0
10-simplex t0.svg
十維單體
10-cube.svg
十維超立方體英语10-cube
10-orthoplex.svg
十維正軸體英语10-orthoplex

十一維[编辑]

名稱 施萊夫利 頂點 4維胞 5維胞 6維胞 7維胞 維峰 維脊 維面 χ
十一維單體 {310} 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 2
十一維超立方體 {4,39} 2048 11264 28160 42240 42240 29568 14784 5280 1320 220 22 2
十一維正軸體 {39,4} 22 220 1320 5280 14784 29568 42240 42240 28160 11264 2048 2
11-simplex graph.png
十一維單體
22-simplex graph.svg
十一維正軸體

十二維[编辑]

名稱 施萊夫利 頂點 4維胞 5維胞 6維胞 7維胞 8維胞 維峰 維脊 維面 χ
十二維單體 {311} 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 0
十二維超立方體 {4,310} 4096 24576 67584 112640 126720 101376 59136 25344 7920 1760 264 24 0
十二維正軸體 {310,4} 24 264 1760 7920 25344 59136 101376 126720 112640 67584 24576 4096 0
12-simplex graph.png
十二維單體
24-simplex graph.svg
十二正軸體

更高維度[编辑]

種類 維度 名稱 施萊夫利 頂點 維峰 維脊 維面 χ
单纯形 13 十三維單體 {312} 14 91 364 364 91 14 2
14 十四維單體 {313} 15 105 455 455 105 15 0
15 十五維單體 {314} 16 120 560 560 120 16 2
16 十六維單體 {315} 17 136 680 680 136 17 0
17 十七維單體 {316} 18 153 816 816 153 18 2
18 十八維單體 {317} 19 171 969 969 171 19 0
19 十九維單體 {318} 20 190 1140 1140 190 20 2
20 二十維單體 {319} 21 210 1330 1330 210 21 0
超方形 13 十三維超立方體 {4,311} 8192 53248 159744 2288 312 26 2
14 十四維超立方體 {4,312} 16384 114688 372736 2912 364 28 0
15 十五維超立方體 {4,313} 32768 245760 860160 3640 420 30 2
16 十六維超立方體 {4,314} 65536 524288 1966080 4480 480 32 0
17 十七維超立方體 {4,315} 131072 1114112 4456448 5440 544 34 2
18 十八維超立方體 {4,316} 262144 2359296 10027008 6528 612 36 0
19 十九維超立方體 {4,317} 524288 4980736 22413312 7752 684 38 2
20 二十維超立方體 {4,318} 1048576 10485760 49807360 9120 760 40 0
正轴形 13 十三維正軸體 {311,4} 26 312 2288 159744 53248 8192 2
14 十四維正軸體 {312,4} 28 364 2912 372736 114688 16384 0
15 十五維正軸體 {313,4} 30 420 3640 860160 245760 32768 2
16 十六維正軸體 {314,4} 32 480 4480 1966080 524288 65536 0
17 十七維正軸體 {315,4} 34 544 5440 4456448 1114112 131072 2
18 十八維正軸體 {316,4} 36 612 6528 10027008 2359296 262144 0
19 十九維正軸體 {317,4} 38 684 7752 22413312 4980736 524288 2
20 二十維正軸體 {318,4} 40 760 9120 49807360 10485760 1048576 0

n維正非凸多胞形[编辑]

從五維開始就都不存在任何非凸多胞形。

正無窮多胞形[编辑]

一維[编辑]

密鋪[编辑]

對應的歐幾里得密鋪只有一種,密鋪於一維歐幾里得空間,即直線,即正無限邊形。其施萊夫利符號以{∞}表示、考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png表示。

該鑲嵌是由一維正圖形「線段」(即二維二邊形)完成一維歐幾里得空間的密鋪。

...Regular apeirogon.png...

雙曲密鋪[编辑]

對應的雙曲密鋪只有一種,即由一維正圖形「線段」完成一維羅氏空間(即二維雙曲線)的密鋪,類似於無限邊形,稱為超無限邊形,但又因為它是發散的,因此又稱為偽多邊形。在施萊夫利符號以{iπ/λ}表示、考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png表示。

Regular Pseudogon.png

二維[编辑]

平面正鑲嵌圖[编辑]

名稱 正方形鑲嵌 正三角形鑲嵌 正六邊形鑲嵌
對稱群英语List of planar symmetry groups#Wallpaper groups p4m, [4,4], (*442) p6m, [6,3], (*632)
施萊夫利 {p,q} {4,4} {3,6} {6,3}
考克斯特記號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
圖像 Uniform tiling 44-t0.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png

雙曲凸正鑲嵌圖[编辑]

雙曲正鑲嵌圖
球面 (柏拉圖/平面/雙曲面 (龐加萊圓盤緊湊/仿緊湊/非緊湊) 鑲嵌圖與其施萊夫利符號
p \ q 3 4 5 6 7 8 ... ... iπ/λ
3 Uniform tiling 332-t0-1-.png
正四面體
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 432-t2.png
正八面體
{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 532-t2.png
正二十面體
{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t2.png
三角鑲嵌
{3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 37-t0.png

{3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 38-t0.png

{3,8}英语Order-8 triangular tiling
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 23i-4.png

{3,∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
H2 tiling 23j12-4.png

{3,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
4 Uniform tiling 432-t0.png
立方體
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 44-t0.png
方形鑲嵌
{4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 45-t0.png

{4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 46-t0.png

{4,6}英语Order-6 square tiling
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 47-t0.png

{4,7}英语Order-7 square tiling
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 48-t0.png

{4,8}英语Order-8 square tiling
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-4.png

{4,∞}英语Infinite-order square tiling
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{4,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
5 Uniform tiling 532-t0.png
十二面體
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 54-t0.png

{5,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 55-t0.png

{5,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 56-t0.png

{5,6}英语Order-6 pentagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 57-t0.png

{5,7}英语Order-7 pentagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 58-t0.png

{5,8}英语Order-8 pentagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 25i-4.png

{5,∞}英语Infinite-order pentagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{5,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
6 Uniform tiling 63-t0.png
六角鑲嵌
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 64-t0.png

{6,4}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 65-t0.png

{6,5}英语Order-5 hexagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 66-t2.png

{6,6}英语Order-6 hexagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 67-t0.png

{6,7}英语Order-7 hexagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 68-t0.png

{6,8}英语Order-8 hexagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 26i-4.png

{6,∞}英语Infinite-order hexagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{6,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
7 Uniform tiling 73-t0.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 74-t0.png
{7,4}英语Order-4 heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 75-t0.png
{7,5}英语Order-5 heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 76-t0.png
{7,6}英语Order-6 heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 77-t2.png
{7,7}英语Order-7 heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 78-t0.png
{7,8}英语Order-8 heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 27i-4.png
{7,∞}英语Infinite-order heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{7,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
8 Uniform tiling 83-t0.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 84-t0.png
{8,4}英语Order-4 octagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 85-t0.png
{8,5}英语Order-5 octagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 86-t0.png
{8,6}英语Order-6 octagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 87-t0.png
{8,7}英语Order-7 octagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 88-t2.png
{8,8}英语Order-8 octagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 28i-4.png
{8,∞}英语Infinite-order octagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{8,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
...
H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-1.png
{∞,4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 25i-1.png
{∞,5}英语Order-5 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H2 tiling 26i-1.png
{∞,6}英语Order-6 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2 tiling 27i-1.png
{∞,7}英语Order-7 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
H2 tiling 28i-1.png
{∞,8}英语Order-8 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 2ii-1.png
{∞,∞}英语Infinite-order apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{∞,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
...
iπ/λ H2 tiling 2312j-1.png
{iπ/λ,3}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 2412j-1.png
{iπ/λ,4}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 2512j-1.png
{iπ/λ,5}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{iπ/λ,6}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
{iπ/λ,7}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{iπ/λ,8}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{iπ/λ,∞}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{iπ/λ,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png

雙曲星形正鑲嵌圖[编辑]

名稱 施萊夫利符號 考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram 圖像 面的種類
{p}
頂點圖
{q}
密度英语Density (polytope) 對稱 對偶
七階七角星鑲嵌 {7/2,7} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 7-2 7.png {7/2}
Star polygon 7-2.svg
{7}
Heptagon.svg
3 *732
[7,3]
二分之七階七邊形鑲嵌
二分之七階七邊形鑲嵌 {7,7/2} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 7 7-2.png {7}
Heptagon.svg
{7/2}
Star polygon 7-2.svg
3 *732
[7,3]
七階七角星鑲嵌
九階九角星鑲嵌 {9/2,9} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 9-2 9.png {9/2}
Star polygon 9-2.svg
{9}
Nonagon.svg
3 *932
[9,3]
二分之九階九邊形鑲嵌
二分之九階九邊形鑲嵌 {9,9/2} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 9 9-2.png {9}
Nonagon.svg
{9/2}
Star polygon 9-2.svg
3 *932
[9,3]
九階九角星鑲嵌
十一階十一角星鑲嵌 {11/2,11} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png Order-11 hendecagrammic tiling.png {11/2}
Star polygon 11-2.svg
{11}
Hendecagon.svg
3 *11.3.2
[11,3]
二分之十一階十一邊形鑲嵌
二分之十一階十一邊形鑲嵌 {11,11/2} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hendecagrammic-order hendecagonal tiling.png {11}
Hendecagon.svg
{11/2}
Star polygon 11-2.svg
3 *11.3.2
[11,3]
十一階十一角星鑲嵌
pp角星鑲嵌 {p/2,p} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png   {p/2} {p} 3 *p32
[p,3]
二分之pp邊形鑲嵌
二分之pp邊形鑲嵌 {p,p/2} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png   {p} {p/2} 3 *p32
[p,3]
pp角星鑲嵌
...
無限階無限角星鑲嵌[註 10] {∞/2,∞} CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png Infinite-order apeirogrammic tiling.png {∞/2} {∞} 3 *∞.3.2
[∞,3]
二分之無限階無限邊形鑲嵌[註 10]
二分之無限階無限邊形鑲嵌[註 10] {∞,∞/2} CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Apeirogrammic-order apeirogonal tiling.png {∞} {∞/2} 3 *∞.3.2
[∞,3]
無限階無限角星鑲嵌[註 10]

三維[编辑]

立方體堆砌{4,3,4}的邊骨架

三維空間中只有一種正堆砌體,即立方體堆砌{4, 3, 4}:[7]

名稱 施萊夫利
{p,q,r}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png

{p,q}

{p}
邊圖
{r}
頂點圖
{q,r}
χ 對偶
立方體堆砌 {4,3,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,3} {4} {4} {3,4} 0 自身對偶

四維[编辑]

名稱 施萊夫利
{p,q,r,s}
維面
{p,q,r}

{p,q}

{p}
面圖
{s}
邊圖
{r,s}
頂點圖
{q,r,s}
對偶
超立方體堆砌 {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} {3,3,4} 自身對偶
正十六胞體堆砌 {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}
正二十四胞體堆砌 {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}
Tesseractic tetracomb.png
超立方體堆砌
Demitesseractic tetra hc.png
正十六胞體堆砌
Icositetrachoronic tetracomb.png
正二十四胞體堆砌

五維[编辑]

五維空間的正堆砌僅有五維超立方體堆砌{4,3,3,3,4}[26]

名稱 施萊夫利
{p,q,r,s,t}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngCDel node.pngCDel t.pngCDel node.png
維面
{p,q,r,s}
維脊
{p,q,r}

{p,q}

{p}
邊圖
{t}
頂點圖
{s,t}
對偶
五維超立方體堆砌 {4,3,3,3,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,3,3,3} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} 自身對偶

六維以上[编辑]

δn 維度 名稱 施萊夫利 考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
原位
{∞}n
(2m色, m<n)

{4,3n-1,4}
(1色、n色)
網格
{4,3n-4,31,1}
(2色)
δ6 五維(退化六維) 五維超立方體堆砌英语5-cube honeycomb {∞}5
{4,33,4}
{4,32,31,1}
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
δ7 六維(退化七維) 六維超立方體堆砌英语6-cube honeycomb {∞}6
{4,34,4}
{4,33,31,1}
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
δ8 七維(退化八維) 七維超立方體堆砌英语7-cube honeycomb {∞}7
{4,35,4}
{4,34,31,1}
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
δ9 八維(退化九維) 八維超立方體堆砌英语8-cube honeycomb {∞}8
{4,36,4}
{4,35,31,1}
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
 
δn n-1維(退化n維) n-1維超立方體堆砌 {∞}n
{4,3n-3,4}
{4,3n-4,31,1}
...

雙曲[编辑]

六維或以上的維度皆不存在緊空間與仿緊空間的雙曲堆砌。不過,任何的{p,q,r,s,...}形式(其中p,q,r,s,...是大於二的自然數或無限大)以上並不包括n維空間的非緊鑲嵌。

非緊鑲嵌[编辑]
非緊鑲嵌的考克斯特群
總數
三維(退化四維) [3,3,7] ... [∞,∞,∞]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png ... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png

[4,3[3]] ... [∞,∞[3]]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png ... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1-ii.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
[5,41,1] ... [∞1,1,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png ... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1-ii.pngCDel nodes.png
... [(5,4,3,3)] ... [∞[4]]: ... CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 4a3b.pngCDel branch.png ... CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
... [4[]×[]] ... [∞[]×[]]: ... CDel node.pngCDel split1-ii-i.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png
... [4[3,3]] ... [∞[3,3]]

四維(退化五維) 186 ...[3[3,3,3]]:CDel pent.png ...
五維(退化六維) 66
六維(退化七維) 36 [31,1,1,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png ...
七維(退化八維) 13

[3,3,3[6]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
[3,3[6],3]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,3[2+4],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,3[1+5],3]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[3[ ]e×[3]]:CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel nodeabc.pngCDel 3abc.pngCDel nodeabc.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.png

[4,3,3,33,1]:CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[31,1,3,33,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,(3,3,4)1,1]:CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[32,1,3,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[4,3,3,32,2]:CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png
[31,1,3,32,2]:CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png

八維(退化九維) 10

[3,3[3+4],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,3[9]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[3,3[2+5],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split5b.pngCDel nodes.png

[32,1,32,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [33,1,33,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png

[33,1,3,3,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[33,3,2]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

[32,2,4]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[32,2,33,4]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[32,2,3,3,31,1]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

九維(退化十維) 8 [3,3[8],3]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

[3,3[3+5],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,3[9]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png

[32,1,33,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [35,3,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[33,1,34,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
[33,1,33,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[34,4,1]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
十維(退化十一維) 4 [32,1,34,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [32,1,36,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png

[32,1,35,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[37,2,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

複合正圖形[编辑]

二維複合正多邊形[编辑]

n=2..10, nk≤30的複合正多邊形
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2{2}
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3{2}
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4{2}
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5{2}
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6{2}
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7{2}
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8{2}
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9{2}
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10{2}
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11{2}
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12{2}
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13{2}
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14{2}
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15{2}
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2{3}
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3{3}
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4{3}
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5{3}
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6{3}
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7{3}
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8{3}
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9{3}
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10{3}
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2{4}
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3{4}
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4{4}
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5{4}
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6{4}
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7{4}
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2{5}
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3{5}
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4{5}
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5{5}
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6{5}
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2{5/2}
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3{5/2}
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5{5/2}
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6{5/2}
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2{6}
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3{6}
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4{6}
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5{6}
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2{7}
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3{7}
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4{7}
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2{7/2}
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3{7/2}
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4{7/2}
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2{7/3}
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3{7/3}
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4{7/3}
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2{8}
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3{8}
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2{8/3}
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3{8/3}
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2{9}
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3{9}
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2{9/2}
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3{9/2}
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2{9/4}
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3{9/4}
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2{10}
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3{10}
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2{10/3}
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3{10/3}
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2{11}
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2{11/2}
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2{11/3}
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2{11/4}
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2{11/5}
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2{12}英语Icositetragon
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2{12/5}
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2{13}
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2{13/2}
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2{13/3}
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2{13/4}
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2{13/5}
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2{13/6}
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2{14}
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2{14/3}
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2{14/5}
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2{15}英语Triacontagon
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2{15/2}
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2{15/4}
Regular star figure 2(15,7).svg
2{15/7}

抽象正圖形[编辑]

多面體 DU36 medial rhombic triacontahedron.png
內側菱形三十面體
Dodecadodecahedron.png
十二合十二面體
DU41 medial triambic icosahedron.png
內側三角星化二十面體
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
雙三斜十二面體
Excavated dodecahedron.png
凹五角錐二十面體
頂點圖 {5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/2)2
Dodecadodecahedron vertfig.png
{5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/3)3
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
Medial triambic icosahedron face.png
30個菱形
Rhombus definition2.svg
12個五邊形
12個五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20個六邊形
Medial triambic icosahedron face.png
12個五邊形
12個五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20個六邊形
Star hexagon face.png
鑲嵌 Uniform tiling 45-t0.png
{4, 5}
Uniform tiling 552-t1.png
{5, 4}
Uniform tiling 65-t0.png
{6, 5}英语Order-5 hexagonal tiling
Uniform tiling 553-t1.png
{5, 6}英语Order-6 pentagonal tiling
Uniform tiling 66-t2.png
{6, 6}英语Order-6 hexagonal tiling
χ −6 −6 −16 −16 −20

參見[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 比如多邊形、多面體這種包圍有限空間的圖形
  2. ^ 退化的形狀,比如退化成平面的多面體,無法包圍住一個有限空間的圖形
  3. ^ 退化的形狀,但是由於發散因此也無法包圍住一個有限空間的圖形
  4. ^ 多個形狀組成的幾何圖形,例如二複合三角形(六角星)
  5. ^ 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。
  6. ^ 即null polytope
  7. ^ 點可以密鋪於零維空間
  8. ^
  9. ^ 即使一百萬邊形被畫成地球一樣大,也很難與圓形區分。
  10. ^ 10.0 10.1 10.2 10.3 此無限為奇數的極限

參考文獻[编辑]

  1. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, pp. 212–213) [1] PDF
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外部連結[编辑]