正圖形列表

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正圖形範例
正多邊形二維
星形
Regular pentagon.svg
{5}
Star polygon 5-2.svg
{5/2}
正多面體三維
星形
Dodecahedron.png
{5,3}
Small stellated dodecahedron.png
{5/2,5}
正鑲嵌圖(二維)
平面 雙曲
Uniform tiling 44-t0.png
{4,4}
Uniform tiling 54-t0.png
{5,4}
正多胞體四維
星形
Schlegel wireframe 120-cell.png
{5,3,3}
Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png
{5/2,5,3}英语Small stellated 120-cell
正堆砌體三維
平面 雙曲
Cubic honeycomb.png
{4,3,4}
Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png
{5,3,4}英语Order-4 dodecahedral honeycomb

此頁面列出了所有的歐幾里得空間、雙曲空間和球形空間的正圖形正多胞形施萊夫利符號可以描述每一個正圖形正多胞形,他被廣泛使用如下面的每一個緊湊的參考名稱。

正圖形正多胞形可由其維度分類,也可以分成凸、非凸(或凹)和無窮等形式。非凸形式(或凹形式)使用與凸形式相同的頂點,但面(或邊)有相交。無限的形式則是在一較低維的歐幾里得空間中密鋪(鑲嵌或堆砌)。

無限的形式可以擴展到密鋪雙曲空間。雙曲空間是和正常的空間有相同的規模,但平行線可在有限距離內相交。這使得頂點值可以存在負角度的缺陷,例如製作一個由個正三角形組成的頂點,它們可以被平放。它不能在普通平面上完成的,但可以在一個雙曲平面上構造。

概觀[编辑]

此表顯示正圖形正多胞形通過維度的匯總。

有限[註 1] 平面[註 2] 雙曲[註 3] 複合[註 4] 抽象
維度 非凸 密鋪
星形 扭歪 星形 緊湊 星形 仿緊 非緊 星形
-1 0 0 0 0 0[註 5] 0 0 0 0 0 0 1英语Abstract_polytope[註 6]
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1[註 7] 0 0 0 0 0 0 1
2 1 1 0 0 0
3 5 4 ? 3 5 0
4 6 10 ? 1 4 0 11 26 20
5 3 0 ? 3 5 4 2 186[1] 0 0
6 3 0 ? 1 0 0 5 66[1] 0 0
7 3 0 ? 1 0 0 0 36[1] 3 0
8 3 0 ? 1 0 0 0 13[1] 6 0
9 3 0 ? 1 0 0 0 10[1] 0 0
10 3 0 ? 1 0 0 0 8[1] 0 0
11 3 0 ? 1 0 0 0 4[1] 0 0
12+ 3 0 ? 1 0 0 0 [2] [註 8] 0
不存在 存在唯一 有限個 無窮個 不一定

零維或以下的正圖形[编辑]

上圖以正方形展示一個二維正多胞形的組成元素:一個二維正多胞形(正方形)、四個一維正多胞形(線段)、四個零維正多胞形(頂點)和一個負一維正多胞形(空集合

在維數為零的空間能存在的多胞形只有點[3],無法有其他幾何或拓樸組合,而為數比零更低則是在抽象理論英语Abstract_polytope中的虛無多胞形(英语:Null polytope)代表一種空集合,在抽象理論英语Abstract_polytope中被看作是一種負一維的多胞形[4],但其是一種抽象多胞形英语Abstract_polytope。然而,在數學上,零維空間是按以下的不等價定義之一,維數為零的拓撲空間:按覆蓋維數的概念,一個拓撲空間是零維空間,若空間的任何開覆蓋,都有一個加細,使得空間內每一點,都在這個加細的恰好一個開集內;或者按小歸納維數的概念,一個拓撲空間是零維空間,若空間有一個由閉開集組成的。這兩個概念對可分可度量化空間為等價[5][6]。而負一維空間僅是在抽象理論英语Abstract_polytope表示一個比零維多胞形更低維度的一個元詞

依據正圖形的定義,一個多胞形必須要具備嚴格的旗可遞特性,對於該幾何體內所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質,並且每一個元素皆為一個正圖形,而零維多胞形的元素僅有{F−1, F0}、負一維多胞形的元素僅有{F−1},幾何上所有零維多胞形都是正多胞形,一般地,n維正圖形被定義為有正維面英语Facet (geometry)[(n − 1)-表面]和正頂點圖英语Vertex Figure,這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的,但這一定義並不適用於抽象多胞形英语,而負一維的多胞形的僅有一種抽象多胞形英语Abstract_polytope

另外,正零邊形也可以視為零維或以下的正圖形,或看做是虛無多胞形(英语:Null polytope)。

一維正圖形[编辑]

Coxeter node markup1.png 考克斯特記號終結點代表一個鏡射面,周圍有環的節點表示其不位於一個平面。 ditel, { }, CDel node 1.png 是點 p和其鏡射像 p'並且中間被夾出一段線段

在維數為一的一維空間裡存在的多胞形是由兩個端點包圍住的一個封閉一維空間,即線段。在定義上,這個一維多胞形(或稱1-多胞形)在施萊夫利符號中以: { } 表示[7][8],而在考克斯特記號中則以一個有環的節點:CDel node 1.png表示[9]諾曼·約翰遜英语Norman Johnson (mathematician)將之稱為ditel,並在施萊夫利符號中以{ }表示[10]。依據正圖形的定義,一個多胞形必須要具備嚴格的旗可遞特性,對於該幾何體內所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質,並且每一個元素皆為一個正圖形,而一維多胞形的旗包含{F−1, F0, F1}、其元素僅有{F−1, A, B, AB},其中,A、B為線段兩端點,由於幾何上所有零維多胞形都是正多胞形,因此所有的線段都會符合旗可遞特以及所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質,並且每一個元素皆為一個正圖形,因此在幾何上所有的一維多胞形都是正多胞形。

雖然線段做為一個多胞形是微不足道的,但它似乎是多邊形和其他更高維度圖形形成邊緣所需的一個元素[11]。在一維以及以下(包括一維、零維、負一維)空間中的多胞形都是正多胞形,包含了一維的線段、零維的點和負一維的抽象虛無多胞形都是組成多邊形和其他更高維度圖形的重要元素之一,比如一維的線段組成多邊形的邊、零維的點組成多邊形的頂點以及代表集合子集中空集合的抽象虛無多胞形都是多邊形的組成元素(子集),依據正圖形定義,若這些低為度不存在正圖形,則也不會有正多邊形和其他更高維度的正圖形。

在柱體的定義裡,線段(一維)可以被看做是點(零維)的柱體,在施萊夫利符號中以{ }×{p}表示,而在考克斯特記號中則以笛卡兒積的形式CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png表示一個線段和多邊形[12]

二維正多邊形[编辑]

[编辑]

名稱 正三角形
(2-單體)
(equit)
正方形
(2-正軸形)
(2-立方形)
(square)
正五邊形
(pe)
正六邊形
(he)
正七邊形
(ha)
正八邊形
(oc)
施萊夫利符號 {3} {4} {5} {6} {7} {8}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
圖像 Regular triangle.svg Regular quadrilateral.svg Regular pentagon.svg Regular hexagon.svg Regular heptagon.svg Regular octagon.svg
名稱 正九邊形
(en)
正十邊形
(de)
正十一邊形 正十二邊形 正十三邊形 正十四邊形
施萊夫利 {9} {10} {11} {12} {13} {14}
考克—迪肯 CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 13.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 14.pngCDel node.png
圖像 Regular nonagon.svg Regular decagon.svg Regular hendecagon.svg Regular dodecagon.svg Regular tridecagon.svg Regular tetradecagon.svg
名稱 正十五邊形 正十六邊形 正十七邊形 正十八邊形 正十九邊形 正二十邊形 ...正p邊形
施萊夫利 {15} {16} {17} {18} {19} {20} {p}
考克—迪肯 CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 16.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 17.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 18.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 19.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png
圖像 Regular pentadecagon.svg Regular hexadecagon.svg Regular heptadecagon.svg Regular octadecagon.svg Regular enneadecagon.svg Regular icosagon.svg

退化 (圓形)[编辑]

名稱 正一邊形 正二邊形
施萊夫利符號 {1} {2}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node.png CDel node 1.png
圖像 Henagon.svg Digon.svg

非凸[编辑]

名稱 五角星 七角星 八角星 九角星 十角星 ...n角星
施萊夫利符號 {5/2}
(star)
{7/2}
(hag)
{7/3}
(gahg)
{8/3}
(og)
{9/2}
(eng)
{9/4}
(geng)
{10/3}
(dag)
{p/q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel dq.pngCDel node.png
圖像 Star polygon 5-2.svg Star polygon 7-2.svg Star polygon 7-3.svg Star polygon 8-3.svg Star polygon 9-2.svg Star polygon 9-4.svg Star polygon 10-3.svg  

三維正圖形[编辑]

[编辑]

名稱 施萊夫利符號
{p,q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
圖像
(透視圖)
圖像
(立體圖)
圖像
(球面投影)
英语Face (geometry)
{p}
頂點
{q}
對稱群 對偶
正四面體
(3-單體)
(三角錐)
(tet)
{3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Tetrahedron.svg Tetrahedron.png Uniform tiling 332-t0-1-.png 4
{3}
6 4
{3}
Td (自身對偶)
正方體
(3-立方形)
(正六面體)
(四角柱)
{4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Hexahedron.svg Hexahedron.png Uniform tiling 432-t0.png 6
{4}
12 8
{3}
Oh 正八面體
正八面體
(3-正軸體)
(反三稜柱)
(oct)
{3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Octahedron.svg Octahedron.png Uniform tiling 432-t2.png 8
{3}
12 6
{4}
Oh 立方體
正十二面體
(doe)
{5,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Dodecahedron.svg Dodecahedron.png Uniform tiling 532-t0.png 12
{5}
30 20
{3}
Ih 正二十面體
正二十面體
(ike)
{3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Icosahedron.svg Icosahedron.png Uniform tiling 532-t2.png 20
{3}
30 12
{5}
Ih 正十二面體

退化 (球面)[编辑]

在球面幾何學中,多面形 {2,n} 和多邊形二面體 {n,2} 以及一面體 {1,1} 也可以被視為是一種正多面體(正球面鑲嵌)。

他們包括:

名稱 施萊夫利
{p,q}
考克斯特
記號
英语Coxeter-Dynkin diagram
圖像
(球面)
英语Face (geometry)
{p}
頂點
{q}
對稱性英语List of spherical symmetry groups 對偶
一邊形一面體 {1,1} CDel node.png Spherical henagonal henahedron.png 1
{1}
0 1
{1}
C1
(*1)
自身對偶
一邊形二面體 {1,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png Hengonal dihedron.png 2
{1}
1 1
{2}
C1v
(*22)
一面形
一面形 {2,1} CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Henagonal hosohedron.png 1
{2}
1 2
{1}
C1v
(*22)
一邊形二面體
二邊形二面體
二面形
{2,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Digonal dihedron.png 2
{2}
2 2
{2}
D2h
(*222)
自身對偶
三面形 {2,3} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Trigonal hosohedron.png 3
{2}
3 2
{3}
D3h
(*322)
三角形二面體
三角形二面體 {3,2} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Trigonal dihedron.png 2
{3}
3 3
{2}
D3h
(*322)
三面形
六面形 {2,6} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png Hexagonal hosohedron.png 6
{2}
6 2
{6}
D6h
(*622)
六邊形二面體
六邊形二面體 {6,2} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Hexagonal dihedron.png 2
{6}
6 6
{2}
D6h
(*622)
六面形

四維正圖形[编辑]

五維正圖形[编辑]

六維正圖形[编辑]

七維正圖形[编辑]

七維以上正圖形[编辑]

正無窮多胞形[编辑]

一維[编辑]

密鋪[编辑]

對應的歐幾里得密鋪只有一種,密鋪於一維歐幾里得空間,即直線,即正無限邊形。其施萊夫利符號以{∞}表示、考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png表示。

該鑲嵌是由一維正圖形「線段」(即二維二邊形)完成一維歐幾里得空間的密鋪。

...Regular apeirogon.png...

雙曲密鋪[编辑]

對應的雙曲密鋪只有一種,即由一維正圖形「線段」完成一維羅氏空間(即二維雙曲線)的密鋪,類似於無限邊形,稱為超無限邊形,但又因為它是發散的,因此又稱為偽多邊形。在施萊夫利符號以{iπ/λ}表示、考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png表示。

Regular Pseudogon.png

二維[编辑]

平面正鑲嵌圖[编辑]

名稱 正方形鑲嵌
(quadrille)
正三角形鑲嵌
(deltille)
正六邊形鑲嵌
(hextille)
對稱群英语List of planar symmetry groups#Wallpaper groups p4m, [4,4], (*442) p6m, [6,3], (*632)
施萊夫利 {p,q} {4,4} {3,6} {6,3}
考克斯特記號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
圖像 Uniform tiling 44-t0.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png

雙曲凸正鑲嵌圖[编辑]

雙曲正鑲嵌圖
球面 (柏拉圖)/平面/雙曲面 (龐加萊圓盤緊湊/仿緊湊/非緊湊) 鑲嵌圖與其施萊夫利符號
p \ q 3 4 5 6 7 8 ... ... iπ/λ
3 Uniform tiling 332-t0-1-.png
(tetrahedron)
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 432-t2.png
(octahedron)
{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 532-t2.png
(icosahedron)
{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t2.png
(deltille)
{3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 37-t0.png

{3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 38-t0.png

{3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 23i-4.png

{3,∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
H2 tiling 23j12-4.png

{3,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
4 Uniform tiling 432-t0.png
(cube)
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 44-t0.png
(quadrille)
{4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 45-t0.png

{4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 46-t0.png

{4,6}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 47-t0.png

{4,7}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 48-t0.png

{4,8}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-4.png

{4,∞}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{4,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
5 Uniform tiling 532-t0.png
(dodecahedron)
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 54-t0.png

{5,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 55-t0.png

{5,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 56-t0.png

{5,6}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 57-t0.png

{5,7}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 58-t0.png

{5,8}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 25i-4.png

{5,∞}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{5,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
6 Uniform tiling 63-t0.png
(hextille)
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 64-t0.png

{6,4}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 65-t0.png

{6,5}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 66-t2.png

{6,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 67-t0.png

{6,7}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 68-t0.png

{6,8}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 26i-4.png

{6,∞}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{6,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
7 Uniform tiling 73-t0.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 74-t0.png
{7,4}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 75-t0.png
{7,5}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 76-t0.png
{7,6}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 77-t2.png
{7,7}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 78-t0.png
{7,8}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 27i-4.png
{7,∞}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{7,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
8 Uniform tiling 83-t0.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 84-t0.png
{8,4}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 85-t0.png
{8,5}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 86-t0.png
{8,6}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 87-t0.png
{8,7}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 88-t2.png
{8,8}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 28i-4.png
{8,∞}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{8,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
...
H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-1.png
{∞,4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 25i-1.png
{∞,5}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H2 tiling 26i-1.png
{∞,6}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2 tiling 27i-1.png
{∞,7}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
H2 tiling 28i-1.png
{∞,8}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 2ii-1.png
{∞,∞}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{∞,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
...
iπ/λ H2 tiling 23j12-1.png
{iπ/λ,3}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{iπ/λ,4}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{iπ/λ,5}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{iπ/λ,6}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
{iπ/λ,7}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{iπ/λ,8}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{iπ/λ,∞}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{iπ/λ,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png

雙曲星形正鑲嵌圖[编辑]

名稱 施萊夫利符號 考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram 圖像 面的種類
{p}
頂點圖英语Vertex Figure
{q}
密度英语Density (polytope) 對稱 對偶
七階七角星鑲嵌 {7/2,7} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 7-2 7.png {7/2}
Star polygon 7-2.svg
{7}
Heptagon.svg
3 *732
[7,3]
二分之七階七邊形鑲嵌
二分之七階七邊形鑲嵌 {7,7/2} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 7 7-2.png {7}
Heptagon.svg
{7/2}
Star polygon 7-2.svg
3 *732
[7,3]
七階七角星鑲嵌
九階九角星鑲嵌 {9/2,9} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 9-2 9.png {9/2}
Star polygon 9-2.svg
{9}
Nonagon.svg
3 *932
[9,3]
二分之九階九邊形鑲嵌
二分之九階九邊形鑲嵌 {9,9/2} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 9 9-2.png {9}
Nonagon.svg
{9/2}
Star polygon 9-2.svg
3 *932
[9,3]
九階九角星鑲嵌
十一階十一角星鑲嵌 {11/2,11} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png Order-11 hendecagrammic tiling.png {11/2}
Star polygon 11-2.svg
{11}
Hendecagon.svg
3 *11.3.2
[11,3]
二分之十一階十一邊形鑲嵌
二分之十一階十一邊形鑲嵌 {11,11/2} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hendecagrammic-order hendecagonal tiling.png {11}
Hendecagon.svg
{11/2}
Star polygon 11-2.svg
3 *11.3.2
[11,3]
十一階十一角星鑲嵌
pp角星鑲嵌 {p/2,p} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png   {p/2} {p} 3 *p32
[p,3]
二分之pp邊形鑲嵌
二分之pp邊形鑲嵌 {p,p/2} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png   {p} {p/2} 3 *p32
[p,3]
pp角星鑲嵌
...
無限階無限角星鑲嵌[註 9] {∞/2,∞} CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png Infinite-order apeirogrammic tiling.png {∞/2} {∞} 3 *∞.3.2
[∞,3]
二分之無限階無限邊形鑲嵌[註 9]
二分之無限階無限邊形鑲嵌[註 9] {∞,∞/2} CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Apeirogrammic-order apeirogonal tiling.png {∞} {∞/2} 3 *∞.3.2
[∞,3]
無限階無限角星鑲嵌[註 9]

三維[编辑]

四維以上[编辑]

抽象多胞形[编辑]

參見[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 比如多邊形、多面體這種包圍有限空間的圖形
  2. ^ 退化的形狀,比如退化成平面的多面體,無法包圍住一個有限空間的圖形
  3. ^ 退化的形狀,但是由於發散因此也無法包圍住一個有限空間的圖形
  4. ^ 多個形狀組成的幾何圖形,例如二複合三角形(六角星)
  5. ^ 沒有任何一種維度存在平面的星形正鑲嵌、密鋪或堆砌。
  6. ^ 即null polytope
  7. ^ 點可以密鋪於零維空間
  8. ^
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 此無限為奇數的極限

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups, JOURNAL OF ALGEBRA 79,78-97 (1982) [1]
  2. ^ Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings, http://arxiv.org/abs/1310.8608
  3. ^ Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. Imagining Negative-Dimensional Space (PDF). (编) Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza. Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [10 July 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. 
  4. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 
  5. ^ zero dimensional. planetmath.org. [2015-06-06]. 
  6. ^ Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics, Volume 3. Kluwer Academic Publishers. 1989: 190. 
  7. ^ Coxeter (1973), p. 129
  8. ^ McMullen & Schulte (2002), p. 30
  9. ^ Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
  10. ^ Johnson (2012), p. 86
  11. ^ Coxeter (1973), p. 120
  12. ^ Coxeter (1973), p. 124
  • Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296)
  • Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V, pp. 212–213) [2] PDF
  • D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes

外部連結[编辑]