三角形

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋
三角形
Triangle illustration.svg
三角形
3
頂點 3
施萊夫利符號 {3}(正三角形時)
面積 有各種求面積的公式;
見下文
內角 60°(正三角形時)

三角形是由三條線段順次首尾相連,組成的一個閉合的平面圖形,是最基本的多邊形

Trikotnik.png

一般用大寫英語字母ABC為三角形的頂點標號;用小寫英語字母abc表示;用\alpha\beta\gamma標號,又或者以\angle ABC這樣的頂點標號表示。

分類[編輯]

以角度分類[編輯]

銳角三角形 鈍角三角形 直角三角形
銳角三角形 鈍角三角形 直角三角形

銳角三角形

銳角三角形的所有內角均為銳角(即小於90°)。

鈍角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角(大於90°)的三角形,其餘兩角均小於90°。


Right triangle.png

直角三角形

有一個角是直角(90°)的三角形為直角三角形。成直角的兩條邊稱為「直角邊」(cathetus),直角所對的邊是「斜邊」(hypotenuse);或最長的邊稱為「弦」,底部的一邊稱作「勾」(又作「句」),另一邊稱為「股」。

直角三角形各邊與角度的關係,可以三角比表示。詳見三角函數


以邊長分類[編輯]

不等邊三角形 等邊三角形 等腰三角形
不等邊三角形 等邊三角形 等腰三角形

不等邊三角形

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形


等邊三角形

等邊三角形(又稱正三角形),為三邊相等的三角形。其三個內角相等,均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是 a ,則其面積公式為 \frac{a^2\sqrt3}{4}

等邊三角形是正四面體正八面體正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形


等腰三角形

等腰直角三角形只有一種形狀,其中兩個角為45度。

等腰三角形是三條中有兩條邊相等(或是其中兩隻內角相等)的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」,而另一條邊被稱為「底邊」,兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」,它們組成的角被稱為「頂角」。

等邊三角形等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。


退化三角形

退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形:三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三邊其中一條邊的長度為0;一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形,這是由於它介乎於三角不等式之間,在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

一般性質[編輯]

三角不等式[編輯]

  • 三角邊長不等式
三角形兩邊之和大於第三邊,兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等,則是退化三角形。
  • 三角內外角不等式
三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。

角度[編輯]

三角形の內角と外角.png
  • 三角形外角
三角形兩內角之和,等於第三角的外角。
  • 三角形內角和
在歐幾里德平面內,三角形的內角和等於180°。

勾股定理[編輯]

勾股定理,又稱畢氏定理畢達哥拉斯定理。設直角三角形的其中一邊c 為斜邊,即 c 的對角 \gamma =90^\circ ,則
a^2+b^2=c^2
  • 勾股定理逆定理
勾定理的逆定理亦成立,即若三角形滿足
a^2+b^2=c^2
\gamma =90^\circ

正弦定理[編輯]

R 為三角形外接圓半徑,則
\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}=2R

餘弦定理[編輯]

對於任意三角形:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cdot\cos\beta
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\gamma
勾股定理是本定理的特殊情況,即當角 \alpha=90^\circ\, 時, \cos\alpha=0 ,於是 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha 化簡為 a^2 = b^2 + c^2


全等及相似[編輯]

全等三角形[編輯]

三角形具有穩定性,若二個三角形有以下的邊角關係確定後,它的形狀、大小就不會改變,二個三角形即為全等三角形

  • SSS(Side-Side-Side,邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
  • SAS(Side-Angle-Side,邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾著的角都對應地相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle,角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾著的邊都對應地相等。
  • HL(Hypotenuse-Leg,斜邊、直角邊):在直角三角形中,斜邊及另外一條直角邊對應地相等。又名為RHS(Right angle-Hypotenuse-Side,直角、斜邊、邊)[1]
  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

注意,SSA(Side-Side-Angle、邊、邊、角)不能保證兩個三角形全等,除非該角大於90°。

相似三角形[編輯]

  • AA(Angle-Angle,角、角):各三角形的其中兩個角的都對應地相等。(或稱AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角)。)
  • 三邊成比例:各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
  • 兩邊成比例及夾角相等:各三角形的兩條邊的長度都成同一比例,且兩條邊夾著的角都對應地相等。


特殊線段[編輯]

三角形中有著一些特殊線段,是三角形研究的重要對象。

  • 中線:三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。
  • 高線:從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
  • 角平分線:平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
  • 垂直平分線:通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段,又稱中垂線。

以上特殊線段,每個三角形均有三條,且三線共點。

中線長度[編輯]

設在\Delta ABC\,中,若三邊abc \,的中線分別為m_am_bm_c,則:

 m_a = \sqrt{b^2 + c^2 - \frac{1}{2} a^2}
 m_b = \sqrt{a^2 + c^2 - \frac{1}{2} b^2}
 m_c = \sqrt{a^2 + b^2 - \frac{1}{2} c^2}

高線長度[編輯]

設在\Delta ABC\,中,連接三個頂點ABC上的高分別記作h_ah_bh_c,則:

h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}
h_b=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{b}
h_c=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{c}

其中 s=\frac{a+b+c}{2}

角平分線長度[編輯]

設在\Delta ABC\,中,若三個角ABC的角平分線分別為t_at_bt_c,則:

t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(b+c+a \right)\left(b+c-a \right)bc}
t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+c+b\right)\left(a+c-b \right)ac}
  t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}


| 外心 || 三條邊的垂直平分線的交點 || 三角形の外心.png || 該點為三角形外接圓的圓心。 |- | 垂心 || 三條高線的交點 || 三角形の垂心.png ||   |- | 形心(重心) || 三條中線的交點 || 三角形の重心.png || 被交點劃分的線段比例為1:2(靠近角的一段較長)。 |}

關於三角形的四心,有這樣的一首詩:

內心全靠角平分,

外心中點垂線伸,
垂心垂直畫三高,

形心角連線中心。
Triangle.EulerLine.svg

垂心(藍)、形心(黃)和外心(綠)能連成一線,且成比例1:2,稱為歐拉線

連同以下的旁心,合稱為三角形的五心:

名稱 定義 圖示 備註
旁心 外角的角平分線的交點 [[File:三角形の傍心

外接圓和內切圓半徑[編輯]

設外接圓半徑為R , 內切圓半徑為r ,則:

 R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}
 r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2\left(a+b+c \right)}

面積[編輯]

基本公式[編輯]

三角形的面積 A 是底邊  b 與高  h 乘積的一半,即:

A=\frac{1}{2}bh

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

已知兩邊及其夾角[編輯]

ab 為已知的兩邊, \gamma 為該兩邊的夾角,則三角形面積是:

A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}

已知兩角及其夾邊[編輯]

\beta\gamma 為已知的兩角, a 為該兩角的夾邊,則三角形面積是:

A=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)}

已知三邊長[編輯]

希羅公式,又稱海倫公式,其表示形式為:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

其中 s 等於三角形的半周長,即:

s=\frac{a+b+c}{2}

秦九韶亦求過類似的公式,稱為三斜求積法

A = \sqrt{\frac{1}{4} {\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}}

也有用冪和來表示的公式:

A = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:

16 \cdot A^2 =-
\begin{vmatrix}
  0 & a^2 & b^2 & 1\\
  a^2 & 0 & c^2 & 1\\
  b^2 & c^2 & 0 & 1\\
  1 & 1 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}

基於希羅公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定,有一個變化的計法。設 a \ge b \ge c ,三角形面積為:

A = \frac{1}{4} \sqrt{[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}

已知坐標系中三頂點坐標[編輯]

(x_1,y_1)(x_2,y_2)(x_3,y_3) 三個頂點構成的三角形,其面積可用行列式的絕對值表示:

A =\left|  \frac{1}{2} \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right|

若三個頂點設在三維座標繫上,即由 (x_1,y_1,z_1)(x_2,y_2,z_2)(x_3,y_3,z_3) 三個頂點構成三角形,其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和,即:

A = \frac{1}{2} \sqrt {\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}^2 +
\begin{vmatrix}y_1 & z_1 & 1 \\y_2 & z_2 & 1 \\y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} ^2 +
\begin{vmatrix}z_1 & x_1 & 1 \\z_2 & x_2 & 1 \\z_3 & x_3 & 1 \end{vmatrix}^2 }

已知周界及內切圓或外接圓半徑[編輯]

設三角形三邊邊長分別為 abc ,三角形半周長( \frac{a+b+c}{2} )為 s ,內切圓半徑為 r,則:

A = sr

若設外接圓半徑為 R ,則:

A =\frac{abc}{4R}

已知兩邊向量[編輯]

設從一角出發,引出兩邊的向量為 \mathbf{a}\mathbf{b} ,三角形的面積為:

 A = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} |

半角定理[編輯]

在三角形  ABC\,中,三個角的半角的正切和三邊有如下關係:


\begin{align}
\tan{\frac{A}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{b+c-a} \\

\tan{\frac{B}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+c-b} \\

\tan{\frac{C}{2}} & = \frac{\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{a+b+c}}}{a+b-c} \\
\end{align}

其他三角形有關的定理[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25

參看[編輯]