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莱布尼茨函数

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仿射几何欧氏几何中,莱布尼茨向量和标量函数是把点对应到向量或数量的函数。这种函数和重心关系密切;用重心可以给出函数的简洁形式。

莱布尼茨向量函数

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考虑仿射空间和相伴的向量空间。设点的族,数量的族。与系统相伴的莱布尼茨向量函数是从的映射,把点对应到向量

设系数和为零,那么函数是常值。如果有一个系数非零(例如),这常值等于,其中是系统的重心。

设系数和非零,函数可化简成

这个性质使得多个向量的线性组合可以借由重心化简成一个向量。如果向量空间是有限维,由此可以给出重心的座标。

其实

把上式转为座标就是

莱布尼茨标量函数

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考虑欧几里得仿射空间和相伴的域。设点的族,数量的族。与系统相伴的莱布尼茨标量函数,是从的映射,把点M对应到数量

设系数和为零,那么函数可化简成

其中等于与这系统相伴的莱布尼茨向量函数的常值,是任意固定点。

设系数和非零,那么函数可化简成

其中是系统的重心。

这个化简令点的位置问题可以很容易解决(见莱布尼茨定理)。

:在2维情形,集适合的是

  • 当系数和为零
    • 垂直的直线,如果非零
    • 整个平面或空集(取决于的值),如果为零
  • 当系数和非零
    • 圆心为的圆,点或空集(取决于的值)

参见

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