数学上,贝西科维奇(Besicovitch)覆盖定理是实分析的一条覆盖定理。欧氏空间的任何一个有半径上限的闭球族中,可以取出几个子集,子集的球互不相交,且覆盖原来闭球族中所有球的中心,而子集的数目上限只取决于空间的维数。
定理叙述[编辑]
若
是
中的非退化(半径为正数)闭球族,当中的球的半径有有限上界,即
![{\displaystyle \sup\{\mathrm {rad} (B):B\in {\mathcal {F}}\}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e926e283b4a86bcba06b71dd043fbb2880047b32)
而A为当中的球的中心组成的集合。那么
中存在子集
,每个
是可数多个互不相交的球的集合,而且
![{\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc902219fb4607a2cc2fb0d281ef2034529a74a)
其中
是一个仅依赖于n的常数。
证明大概[编辑]
先假设A是有界集合。依次选取球
- 选择
为
,适合条件![{\displaystyle r_{1}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743f948e3e25d9eea443ac15191637cda0974759)
- 若已选取
,
。令
。若
,就停止;若否,选择
为
,适合条件![{\displaystyle r_{j}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}},a\in A_{j}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214c822ebb85154db340634625ecc79467e151d2)
球
有以下性质
- 以
的选取方法可知,若j > i,则
,
。
- 将全部球
的半径缩至三分之一,从以上不等式,可证这些缩小的球
互不相交。
- 若有可数无限多球
,因A有界,及缩小的球不交的性质,所以球
的半径趋向0。
。若
数目有限,则结果明显;若数目是无限多,假如有
,那么
中有球
,而从上一性质知,对足够大的j,有
,与
的选取条件矛盾。
对k > 1,估算
和多少个之前选择的球
相交。先将这样的
按半径
分成两组:
为第一组,
为第二组。
对第一组的球
,将其缩小成
后包含在
中。
之间互不相交,故总体积不超过
的体积。又因
,因此
相对
的比例有一个下限,而这下限仅由维数n决定。所以第一组的球的数目有一个仅依赖于n的上限。
对第二组的球,任取其中两个球
,
。考虑以
,
,
作顶点的三角形。因
,
都和
相交,又
不在
,
之内,故有不等式
![{\displaystyle r_{i}<\left|a_{i}-a_{k}\right|<r_{i}+r_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df685378e8d693f9ffa4ec76b44035b19a9ce8c)
![{\displaystyle r_{j}<\left|a_{j}-a_{k}\right|<r_{j}+r_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef70bb7c92b31f7e010a0724a9fc72125dc3f638)
欲证出此三角形以
为顶点的角
,不小于一常数。可以假设
边长不大于
边长。如果
不在
内,则
边长大于
。若
边长不小于
边长,则
为三角形中最长的边,所以
不小于
。若
边长小于
边长,以平面几何可证得这情形时
不小于arccos(5/6)。如果
在
内,必有i < j,故
,且
不在
内,因此
边长大于
。可证得这情形时
不小于arccos(61/64)。取上述下限的最小者,得出
的下限为arccos(61/64)。
因此将第二组各个的球的中心和
之间连成直线,则任意两条直线之间在
的夹角不小于arccos(61/64)。
为中心的单位球面上,这些直线中任何两条和球面的交点,其间的球面距离,等于直线间的夹角。直线间的夹角下限,就是交点间的球面距离下限。在单位球面上所能容纳的这样的点的数目,有一个只依赖维数n的上限,这也就是第二组球的数目上限。
和之前的球相交的数目上限,是以上两组的上限的和,于是这个上限只依赖于维数n。这个上限加1设为
。现在从
开始依次把球放到子集
内。轮到
时,因为之前的球中最多有
个和
相交,因此在
个子集
中,必定有至少一个所包含的球都不和
相交,于是可以把
加进这个子集。这样就得出了子集
,满足条件
![{\displaystyle A\subset \bigcup _{i}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b90b17d35ede3fd93c473b49f97e94c039547f)
对一般的A,设
![{\displaystyle R:=\sup\{\mathrm {rad} (B),B\in {\mathcal {F}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168fb952e21f8173155d742e2c73ce26f8c52307)
对每个正整数l,设
![{\displaystyle A_{l}:=\{x\in A:3R(l-1)\leq |x|<3R\,l\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d18b3294e105a702b37e4a363d497de5d415821)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{l}:=\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}:a\in A_{l}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4570cc0a5f4e08075bf9a3b8113bad409357c0e1)
将以上结果用到
和
上,得到子集
,满足条件
![{\displaystyle A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}^{l}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a3a1308ddb8b1c48c8afe02e11c9bd6526ec77)
对
,设
,
,并设
。那么
的球互不相交,且有
![{\displaystyle A=\bigcup _{l=1}^{\infty }A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84ead77b32bc211d2e2a98a59f6880f401a088f)
因此定理得证。
- Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.