Youla-Kucera参数化(Youla–Kučera parametrization)也称为Youla参数化(Youla parametrization)或是YK参数化,是控制理论中一个参数化的公式,描述所有针对一受控体P的所有可能稳定回授控制器,表示为单一参数Q的函数。
YK参数化是通用的结果,是控制理论的基础结果,不过在新的研究领域(如最佳控制及强健控制中)也有其应用[1]。
为了方便了解其概念,先用简单的例子举例,再慢慢扩展,这也是Kučera的作法。
令
为稳定单一输入单一输出(SISO)系统的传递函数。再令Ω是s的稳定proper函数的集合。则所有可以让系统
稳定的proper控制器可以定义如下:
,
其中
是任意s的稳定proper函数。也可以说
参数化了所有可以让系统
稳定的控制器。
考虑一系统其传递函数为
,且此传递函数可以分解为
,其中M(s)和N(s)是s的稳定proper函数。
求解下式的贝祖等式
,
其中待解的变数(X(s), Y(s))也要是稳定proper函数。
在找到稳定proper的X和Y后,可以定义稳定化控制器为
。在找到一个稳定化控制器后,可以用一个稳定proper的参数Q(s)来定义所有稳定化控制器,其集合为
,
在多重输入多重输出(MIMO)系统中,考虑传递矩阵
。可以用右互质因式
或左因式
来分解。因式需要是稳定、proper及双重互质,因此确保系统P(s)是可控制且可观察的。可以用贝祖等式写成下式
.
在找到稳定proper的
后,可以用左因式或是右因式定义所有可稳定的控制器K(s)(假设存在负回授):
其中
是任意的稳定proper参数。
令
是系统的传递函数,且
是一个稳定化的控制器,其右互质分解为:
![{\displaystyle \mathbf {P(s)} =\mathbf {N} \mathbf {M} ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46ba42b3a08e2d6cd91b9e22ccf30cc6d0a16eb)
![{\displaystyle \mathbf {K_{0}(s)} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf88b83f45b00f0263a3f7052ea771ed81e3a558)
则所有的稳定控制器可以写成
![{\displaystyle \mathbf {K(s)} =(\mathbf {U} +\mathbf {M} \mathbf {Q} )(\mathbf {V} +\mathbf {N} \mathbf {Q} )^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0961b52bf513e4e030f6f4d02a16730a67533b1f)
其中Q是稳定且proper的函数[2]
YK公式在工程上的重要性是若要找到符合特定准则的可稳定控制器,可以调整Q来符合想要的准则。
- D. C. Youla, H. A. Jabri, J. J. Bongiorno: Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers: part II, IEEE Trans. Automat. Contr., AC-21 (1976) pp319–338
- V. Kučera: Stability of discrete linear feedback systems. In: Proceedings of the 6th IFAC. World Congress, Boston, MA, USA, (1975).
- C. A. Desoer, R.-W. Liu, J. Murray, R. Saeks. Feedback system design: the fractional representation approach to analysis and synthesis. IEEE Trans. Automat. Contr., AC-25 (3), (1980) pp399–412
- John Doyle, Bruce Francis, Allen Tannenbaum. Feedback control theory. (1990). [2] (页面存档备份,存于互联网档案馆)