包絡定理是帶參數的最佳化問題中的一個定理。這個定理的內容是,參數的值變動時,目標函數的變動只和參數的變動有關,而與自變數(因參數變動而引起)的變動無關。包絡定理在最佳化領域非常有用。
設
是
上的可微實函數,其中
是自變數,
是參數,目標是選擇適當的
以極大化/極小化
。設
,其中
為
取最大值/最小值時的
,則包絡定理即
。[1][2]
根據全微分公式有
。
因為
取最值時必有
對
的一階偏導數為零,即
,
故可得到
,
也即
成立。
在無約束的情形下加上
個同樣可微的實約束函數
,則包絡定理變為
,
其中
是拉格朗日函數。
證明過程與無約束時類似,只是
取最值時
變為
。