合併變異數

合併變異數（pooled variance）在統計學中是指當多個母體均值不同時估算母體變異數的方法。其假設每個母體都有著相同的變異數。在此假設之下，合併樣本變異數相比單個的樣本變異數能更精確地估算母體變異數。合併變異數的平方根則稱為合併標準差（pooled standard deviation）。

以$i=1,\ldots ,k$表示不同母體，可以通過加權平均計算合併變異數$s_{p}^{2}$：

$s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)}}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}+\cdots +(n_{k}-1)s_{k}^{2}}{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}-k}}$,

其中$n_{i}$表示母體$i$的樣本大小，而每個母體的樣本變異數分別為

$s_{i}^{2}$ = ${\frac {1}{n_{i}-1}}\sum _{j=1}^{n_{i}}\left(y_{j}-{\overline {y_{j}}}\right)^{2}$.

以上的加權因子採用$(n_{i}-1)$而非$n_{i}$是因為使用了貝塞爾校正係數。

除以上定義之外，有時還會使用

$s_{p}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)s_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{k}n_{i}}}$

計算合併變異數。

參考文獻

• Killeen PR. An alternative to null-hypothesis significance tests. Psychol Sci. May 2005, 16 (5): 345–53. PMC 1473027 . PMID 15869691. doi:10.1111/j.0956-7976.2005.01538.x.