小增益定理

由系統S₁及系統S₂回授組合而成的系統

小增益定理（small-gain theorem）是在由二個系統回授組成的非線性系統中，要達到有限增益${\mathcal {L}}$穩定性的充分條件。小增益定理是由George Zames在1966年所證明。小增益定理如下：

假設二個穩定系統$S_{1}$及$S_{2}$以回授迴路的方式組成一系統，此閉迴路系統輸入-輸出穩定性（input-output stability）的條件是$\|S_{1}\|\cdot \|S_{2}\|<1$，而且$S_{1}$和$S_{2}$兩者都要穩定。

上述的範數可以是無窮範數，是轉移函數在所有頻率下最大的奇異值的大小，不過用其他的範數也會有相同的結果。

小增益定理可以視為是奈奎斯特穩定判據在非線性時變MIMO（多輸入多輸出）系統的擴展。

相關條目

• 輸入-狀態穩定性

延伸閱讀

• H. K. Khalil, Nonlinear Systems, third edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002;
• C. A. Desoer, M. Vidyasagar, Feedback Systems: Input-Output Properties, second edition, SIAM, 2009.