貝克隆德變換

貝克隆德變換是兩個非線性偏微分方程之間的一對變換關係。

兩個非線性偏微分方程

$F_{1}(u,x,t,u_{x},u_{t},u_{xx},u_{tt},u_{xt},u_{tt})=0,$

$F_{2}(w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta },w_{\xi },w_{\xi \xi },w_{\xi \eta },w_{\eta \eta })=0$

之間的貝克隆德變換，指的是這樣一對關係

$\phi _{1}(u,x,t,u_{x},u_{t},w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0,$

$\phi _{2}(u,x,t,u_{x},u_{t},w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0.$

貝克隆德變換是求非線性偏微分方程精確解的一種重要的變換。

1876年瑞典數學家貝克隆德發現正弦-戈爾登方程的不同解u、v

$u_{xt}=\sin u.\,$

$v_{xt}=\sin v.\,$

之間有如下關係：

${\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}-2\beta \sin {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{t}&=-u_{t}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\Bigl (}{\frac {v-u}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!$

這就是正弦-戈爾登方程的貝克隆德自變換。

將貝克隆德自變換第一式對t取微商，二式對x微商：

$bt1:=(1/2)*u_{xt}-(1/2)*v_{xt}=\beta *cos((1/2)*u+(1/2)*v)*((1/2)*u_{t}+(1/2)*v_{t})$

$bt2:=(1/2)*u_{xt}+(1/2)*v_{xt}=cos((1/2)*u-(1/2)*v)*((1/2)*u_{x}+(1/2)*v_{x})/\beta$

消除v即得$u_{xt}=\sin u.\,$；

消除u項即得

$v_{xt}=\sin v.\,$

貝克隆德變換常用於求正弦-戈爾登方程、高維廣義Burger I型方程、高維廣義Burger II型方程的精確解：

解正弦-戈爾登方程

Sine-gordon kink2d

Sine-gordon 3D animation1

Sine-gordon 3D animation2

利用正弦-戈爾登方程的自貝克隆德變換解正弦-戈爾登方程：

由貝克隆德自變換$v_{x}=u_{x}-2\beta \sin({\frac {u+v}{2}})$令v=0，得

$u_{x}=2\beta \sin {\Bigl (}{\frac {u}{2}}{\Bigr )}$，顯然

$2*\beta =u[x]/sin((1/2)*u)$，兩邊對x積分，得：

$2*\beta *x=2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))$

對貝克隆德自變換第二式作同樣運算得：

$2*t/\beta =2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))$ 經過三角函數運算，二式簡化為

$2\beta *x=2*ln(tan(u/4))$

$2t/\beta =2*ln(tan(u/4))$

二式相加得：

$2*beta*x+2*t/beta=4*ln(tan((1/4)*u))$，

分離u得正弦-戈爾登方程的一個解析解：

$u(x,t)=4*arctan(e^{\frac {\beta ^{2}*x+t}{2\beta }})$

又從$2*t/\beta =2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))$ 直接接求u得另外兩個解析解：

$u(x,t)=2*arctan(2*exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta )/(1+(exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta ))^{2}))$

$u(x,t)=-2*arctan(((exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta ))^{2}-1)/(1+(exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta ))^{2}))$

另見

可積系統

KdV方程