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佩特諾-伊曼-道格拉斯定理

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佩特-諾伊曼-道格拉斯定理Petr–Douglas–Neumann theorem)也稱為PDN定理,是幾何學中有關平面多邊形的定理。此定理證明,對於任何多邊形,都可以依定理中的作法找到一正多邊形,其邊數恰和原來的多邊形相同。佩特諾-伊曼-道格拉斯定理最早是由卡瑞爾·佩特諾英语Karel Petr(1868–1950)1908年在布拉格提出[1][2]。1940年及1941年時也分別被傑西·道格拉斯(1897–1965)[3]伯恩哈德·诺伊曼英语Bernhard Neumann(1909–2002)[2][4]獨立證明。此定理由Stephen B Gray命名為佩特-諾伊曼-道格拉斯定理,或簡稱為PDN定理[2],有時也被稱為道格拉斯定理道格拉斯-諾伊曼定理諾伊曼-道格拉斯-佩特定理佩特定理[2]

定理敘述

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佩特-諾伊曼-道格拉斯定理的敘述如下[3][5]

若一任意的n邊形A0,每邊上往外畫頂角為2kπ/n(1 ≤ k ≤ n − 2)的等腰三角形,再針對各等腰三角形的頂角形成的n邊形再進行類似的作法,但需用不同的數字k,一直用到用完所有滿足1 ≤ k ≤ n − 2的數值為止(可以不依大小順序),最後形成的n邊形An−2會是正多邊形,且其形心和原n邊形A0的形心重合。

應用在三角形中的特例

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拿破崙定理是佩特諾-伊曼-道格拉斯定理的特例

在三角形的情形下,n為3,而n −2為1。因此只存在一個可能的k值,也就是1。此定理應用在三角形時,三角形A1正三角形

A1是由三角形A0的每一邊往外畫頂角為2π/3的等腰三角形,其頂點連線而成的三角形。三角形A1 的頂點也就是三角形A0的每一邊往外畫正三角形的重心。因此佩特-諾伊曼-道格拉斯定理應用在三角形中的特例可以表示如下:

任意三角形的三邊往外畫正三角形,三個正三角形的重心形成的三角形也會是正三角形

上述的敘述也就是拿破崙定理

參考資料

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  1. ^ K. Petr. Ein Satz ¨uber Vielecke. Arch. Math. Physik. 1908, 13: 29–31. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Stephen B. Gray. Generalizing the Petr–Douglas–Neumann Theorem on n-gons (PDF). American Mathematical Monthly: 210–227. [8 May 2012]. (原始内容存档 (PDF)于2018-07-21). 
  3. ^ 3.0 3.1 Douglas, Jesse. On linear polygon transformations (PDF). Bulletin of American Mathematical Society. 1946, 46 (6) [7 May 2012]. (原始内容存档 (PDF)于2020-10-28). 
  4. ^ B H Neumann. Some remarks on polygons. Journal of London Mathematical Society. 1941, s1–16 (4): 230–245 [7 May 2012]. (原始内容存档于2016-12-24). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Petr–Neumann–Douglas Theorem.. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [8 May 2012]. (原始内容存档于2020-03-18) (英语).