柯尼希-费舍尔展开(Cornish-Fisher expansion)是一种渐近展开式,用于逼近一个概率分布的分位数 [1]。这个展开成立时,它可以比中心极限定理提供更精确的分位数逼近。
每一个Cornish-Fisher展开的成立与否,依赖于其相应的Edgeworth展开的正确性。Cornish-Fisher展开是其对应的Edgeworth展开的逆[2]。
这个展开以E. A. Cornish和著名统计学家R. A. 费舍尔命名,他们于1937年发明该方法[3][4]。
表达式和系数的计算方法[编辑]
最简单的定义Cornish-Fisher展开表达式的方式是待定系数法[2]。假设我们有来自某分布
的独立同分布随机变量
,现在要估计总体的某个泛函
,假设
是基于样本的一个估计,并且对该估计,成立以下的
阶Edgeworth展开
![{\displaystyle \mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )\leq x)=\Phi (x)+\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot \Gamma _{k}(x)\right\}\cdot \varphi (x)+O(n^{-(K+1)/2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140ff63a76a762cf4918145df3eade84af4cedb5)
其中
和
分别是标准正态分布的CDF和PDF,
是
的多项式,余项表示的是一致误差界,即它是精确分布和逼近分布的
距离。
那么对任何给定的
,枢轴变量
的下
分位数
可以由下列Cornish-Fisher展开逼近:
![{\displaystyle {\hat {\theta }}_{\alpha }:=z_{\alpha }-\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(z_{\alpha })\right\}\cdot \varphi (z_{\alpha })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da273dc3a391130daaa6100bd3ecf06b9348229)
其中
是标准正态分布的下
分位数,系数
从以下的式子以待定系数法逐个解出
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y))=\Phi (y)+O(n^{-1})\\\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)-n^{-1}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{2}(y))=\Phi (y)+O(n^{-3/2})\\\cdots &\cdots \\\mathbb {P} {\Bigg (}n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(y){\Bigg )}=\Phi (y)+O(n^{-(K+1)/2})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5268395d8a3995bd24414bf377d43edf6d02e95)
例如,解第一个方程时,将
代回到Edgeworth展开里,
的解是(唯一的)能消去
阶项的表达式。
一般来说,Cornish-Fisher展开与它所来自的Edgeworth展开拥有相同的逼近阶数和一致误差项,除非该Edgeworth展开带有跳跃点[2]。
参考文献[编辑]
- ^ Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A. Moments and Cumulants in the Specification of Distributions (PDF). Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute. 1938, 5 (4): 307–320 [2020-12-04]. JSTOR 1400905. doi:10.2307/1400905. (原始内容存档 (PDF)于2017-09-21).
- ^ 2.0 2.1 2.2 Hall, Peter. Inverting an Edgeworth Expansion. The Annals of Statistics. 1983-06, 11 (2): 569–576 [2020-12-04]. ISSN 0090-5364. doi:10.1214/aos/1176346162. (原始内容存档于2018-06-01) (英语).
- ^ Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A. Moments and Cumulants in the Specification of Distributions (PDF). Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute. 1938, 5 (4): 307–320 [2020-12-04]. JSTOR 1400905. doi:10.2307/1400905. (原始内容存档 (PDF)于2017-09-21).
- ^ Fisher, Sir Ronald A.; Cornish, E. A. The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants. Technometrics. 1960-05-01, 2 (2): 209–225 [2020-12-04]. ISSN 0040-1706. doi:10.1080/00401706.1960.10489895. (原始内容存档于2021-10-17).