曲面的systole

數學上，曲面上的曲線的systolic不等式，最初是查爾斯·婁威納在1949年研究（未發表，見蒲保明1952年的論文末尾的註解。給定一個閉曲面，其systole記為sys，定義為曲面上不能縮成一點的環路的最短長度。一個度量的systolic面積，定義為比例area/sys²，systolic比SR是其倒數sys²/area。

環面

環面上最短的環路

1949年婁威納證明了環面T²上的度量的不等式，即是其systolic比SR(T²) 有上界$2/{\sqrt {3}}$，於平坦（常曲率）的等邊環面時等號成立。

實射影平面

蒲保明於1952年給出對實射影平面的類似結果的蒲氏不等式，證明其systolic比SR(RP²)有上界π/2，也是在常曲率時達到上界。

克萊因瓶

手工吹製的模擬克萊因瓶

對於克萊因瓶K，Bavard(1986)獲得了systolic比的最佳上界$\pi /{\sqrt {8}}$：

$\mathrm {SR} (K)\leq {\frac {\pi }{\sqrt {8}}},$

使用了Blatter在1960年代的工作。

虧格2

虧格2的可定向曲面適合婁威納的上界$\mathrm {SR} (2)\leq {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$(Katz-Sabourau '06)。現在尚未知道正虧格的曲面是否都適合此上界，有猜想指其都適合。在虧格不小於20時已得到證明(Katz-Sabourau '05)。

任意虧格

對虧格g的閉曲面，Hebda和Burago(1980)證明了systolic比SR(g)有上界2。三年後米哈伊爾·格羅莫夫找到SR(g)的一個上界， 是一個常數乘以

${\frac {(\log g)^{2}}{g}}.$

一個「較小」的界（帶一個較小的常數）由Buser和Sarnak給出。他們證明了算術雙曲黎曼曲面的systole表現為一個常數乘以$\log(g)$。注意高斯－博內定理指面積是4π(g-1)，所以SR(g)漸近表現為一個常數乘以${\tfrac {(\log g)^{2}}{g}}$。

參見

• 曲面的微分幾何

參考

• Bavard, C. Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein. Math. Ann. 1986, 274 (3): 439–441. doi:10.1007/BF01457227. 
• Buser, P.; Sarnak, P. On the period matrix of a Riemann surface of large genus (With an appendix by J. H. Conway and N. J. A. Sloane). Inventiones Mathematicae. 1994, 117 (1): 27–56. doi:10.1007/BF01232233. 
• Gromov, M. Filling Riemannian manifolds. J. Diff. Geom. 1983, 18 (1): 1–147. MR 0697984. 
• Hebda, J. Some lower bounds for the area of surfaces. Invent. Math. 1981/82, 65 (3): 485–490. doi:10.1007/BF01396632. 
• Katz, Mikhail G. Systolic geometry and topology. Mathematical Surveys and Monographs 137. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2007. ISBN 978-0-8218-4177-8. 
• Katz, M.; Sabourau, S. Entropy of systolically extremal surfaces and asymptotic bounds. Ergo. Th. Dynam. Sys. 2005, 25 (4): 1209–1220. doi:10.1017/S0143385704001014. 
• Katz, M.; Sabourau, S. Hyperelliptic surfaces are Loewner. Proc. Amer. Math. Soc. 2006, 134 (4): 1189–1195. arXiv:math.DG/0407009 . doi:10.1090/S0002-9939-05-08057-3. 
• Katz, M.; Schaps, M.; Vishne, U. Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups. J. Differential Geom. 2007, 76 (3): 399–422. arXiv:math.DG/0505007 . 
• Pu, P. M. Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds. Pacific J. Math. 1952, 2: 55–71. MR 0048886.