萊默的歐拉函數問題

在數學上，萊默的歐拉函數問題（Lehmer's totient problem）指的是是否有合成數$n$，其歐拉函數$\varphi (n)$的值可整除$n-1$。這問題迄今仍未得證。

已知$\varphi (n)=n-1$，當且僅當$n$是質數，故對於任何質數$n$而言，有$\varphi (n)=n-1$，且$\varphi (n)$可整除$n-1$；而德里克·亨利·萊默猜想說，沒有任何合成數$n$，使得$\varphi (n)$整除$n-1$。

歷史

• 萊默證明了說如果有這樣的合成數$n$，那麼$n$必然是奇數、必然是無平方因子數，且必然有至少七個不同的質因數（$\omega (n)\geq 7$）。此外這樣的數必然是個卡邁克爾數。
• 1980年，Cohen和Hagis證明了說，若這樣的$n$存在，則$n>10^{20}$且$n$有至少14個不同的質因數（$\omega (n)\geq 14$）。
• 1988年，Hagis證明了說若這樣的$n$存在且可被3除盡，那麼$n>10^{1937042}$且$n$有至少298848個不同的質因數（$\omega (n)\geq 298848$）。這結果之後為Burcsi、Czirbusz和Farkas改進，他們證明了說若的$n$存在且可被3除盡，那麼$n>10^{360000000}$且$n$有至少40000000個不同的質因數（$\omega (n)\geq 40000000$）。
• 一個2011年的結果顯示，這問題小於$X$的解的數量至多有${X^{1/2}/(\log X)^{1/2+o(1)}}$個。

參考資料

• Cohen, Graeme L.; Hagis, Peter, jun. On the number of prime factors of n if φ(n) divides n−1. Nieuw Arch. Wiskd. III Series. 1980, 28: 177–185. ISSN 0028-9825. Zbl 0436.10002. 
• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. B37. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001. 
• Hagis, Peter, jun. On the equation M⋅φ(n)=n−1. Nieuw Arch. Wiskd. IV Series. 1988, 6 (3): 255–261. ISSN 0028-9825. Zbl 0668.10006. 
• Lehmer, D. H. On Euler's totient function. Bulletin of the American Mathematical Society. 1932, 38 (10): 745–751. ISSN 0002-9904. Zbl 0005.34302. doi:10.1090/s0002-9904-1932-05521-5 . 
• Luca, Florian; Pomerance, Carl. On composite integers n for which $\varphi (n)\mid n-1$. Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2011, 17 (3): 13–21. ISSN 1405-213X. MR 2978700. 
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records 3rd. New York: Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94457-5. Zbl 0856.11001. 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (编). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. 2006. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300. 
• Burcsi, Péter; Czirbusz, Sándor; Farkas, Gábor. Computational investigation of Lehmer's totient problem (PDF). Ann. Univ. Sci. Budap. Rolando Eötvös, Sect. Comput. 2011, 35: 43–49. ISSN 0138-9491. MR 2894552. Zbl 1240.11005.