两元素布尔代数

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两元素布尔代数是最简单的布尔代数,它只有两个元素,习惯指名为 1 和 0。保罗·哈尔莫斯给这个起名为 2,被一些文献和本文采用。

任何布尔代数都关联着叫做“全集”或“载体”的一个偏序集合 B,使得这个布尔代数的运算是从 BnB 的映射。这个载体是由于有显著的成员 0 和 1 而是有界的。2 简单的就是其载体同一于它的界的集合的布尔代数,即 B={0,1}。

布尔代数的两个二元运算有很多名字和符号。这里把它们叫做“和”与“积”,分别符号表示为中缀 + 和 \cdot \,。积经常指示为两个操作数的简单串联。和与积是交换的和结合的,如同普通的实数代数中那样。在运算次序上,\cdot 优先于 + 但是括号可以超越它。所以“A \cdot \, B + C”被分析为“(A \cdot \, B) + C”而非“A \cdot \, (B + C)”。

一元运算总是被称为“补”,这里的符号表示是对参数放置上横杠。x 的补的数值类似者是 1-x。在泛代数的语言中,所有布尔代数是 \langle B,+,\cdot,\overline{..},1,0\rangle 代数,型为 \langle 2,2,1,0,0\rangle

解释 0 和 1 中的一个为“真”另一个为“假”产生了经典的等式形式的二值逻辑。在这种情况下,+ 被读做\cdot \, 被读做,而补被读做

参见[编辑]

引用[编辑]

Many elementary texts on Boolean algebra were published in the early years of the computer era. Perhaps the best of the lot, and one still in print, is:

  • Mendelson, Elliot, 1970. Schaum's Outline of Boolean Algebra. McGraw-Hill.

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