亥姆霍茲線圈

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
一座裝配了亥姆霍茲線圈的物理儀器。
亥姆霍茲線圈示意圖。

亥姆霍茲線圈Helmholtz coil)是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質,很容易地可以將其它儀器置入或移出,也可以直接做視覺觀察,所以,是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。

簡介[编辑]

亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系,這兩個半徑為 R 的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為 h/2-h/2 。每一個導體線圈載有同向電流 I

設定 h=R 可以使得在兩個線圈中心位置O(即原點)的磁場,其不均勻程度極小化。這動作促使 \partial^{2}B/\partial z^{2} = 0 ,也意味著領先的非零微分項目是 \partial^{4}B/\partial z^{4} ,稍後會對這論點做更詳細解釋。[1] 但是,這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約 7% 磁場數值的差別。

在某些应用中,亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場,製造出接近零磁場的區域。[2]

數學描述[编辑]

在亥姆霍茲線圈的二等分面的磁場線。注意到在兩個線圈之間的磁場近似均勻(在這電腦繪圖裏,線圈的中心軸是縱向的)。
沿著線圈中心軸(z-軸)的磁場。與兩個線圈同距離的中心位置的z-坐標為0。
等值線圖顯示出在亥姆霍茲線圈的磁場的數值大小。在中央的章魚區域內,磁場數值與中心位置的磁場數值 B_0 相差不超過1%。五條等值線的磁場數值分別為 0.5 B_00.8 B_00.9 B_00.95 B_00.99B_0

關於在空間任意位置的精確磁場計算,需要應用到貝索函數橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸(z-軸),涉及到的計算比較簡單,可以應用泰勒展開,將磁場展開為 z冪級數。採用直角坐標系,以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性,奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離 h ,可以使得O點成為拐點,則可以保證 z^2 級項目為零,因此領先不均勻項目是 z^4 級項目。

在中心位置O點,磁場為

 B = {\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 n I}{R}

其中,\mu_0磁常數

推導[编辑]

採用直角坐標系,設定單匝線圈的中心軸為z-軸,線圈平面與z-軸相交處為原點,則在z-軸的磁場以方程式表示為[3](這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來)

 B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}

其中, B 是磁場數值大小,\mu_0 是磁常數,I 是電流,R 是線圈半徑,z 是檢驗位置的z-坐標。

對於 n 匝線圈,磁場為

 B = \frac{\mu_0 n I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}

現在改變系統為亥姆霍茲線圈,其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為 R/2 ,注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈,所以,總磁場為

 B = \frac{2\mu_0 n I R^2}{2(R^2+(R/2)^2)^{3/2}} = {\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 n I}{R}

進階推導[编辑]

更詳細地計算,沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加:[4]

 \mathbf{B} =\frac{\mu_0 I R^2}{2} \left\{\left[R^2+(z-h/2)^2\right]^{-3/2}
+\left[R^2+(z+h/2)^2\right]^{-3/2}\right\}\hat{\mathbf{z}}

在原點附近的磁場,經過一番運算,可以泰勒展開z冪級數

 \mathbf{B} =\frac{\mu_0 I R^2}{d^3}\left[1+\frac{3(h^2-R^2)z^2}{2d^4}+\frac{15(h^4-6h^2R^2+2R^4)z^4}{16d^8}+\dots\right]\hat{\mathbf{z}}

其中,d=\sqrt{R^2+h^2/4}

現在設定 h=R ,則 z^2 項目為零,在原點附近的磁場更加均勻:

 \mathbf{B} ={\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2}  \frac{\mu_0 I}{R}\left[1-\frac{144}{125}\ \left(\frac{z}{R}\right)^4+\dots\right]\hat{\mathbf{z}}

磁場不均勻率與 z 的關係式為

 \frac{\Delta B_z}{B_z}\approx -\frac{144}{125}\ \left(\frac{z}{R}\right)^4

z=\pm R/2 ,線圈平面與z-軸相交處,磁場數值的差別為

 \frac{\Delta B_z}{B_z}\approx -\frac{144}{125}\ \left(\frac{1}{2}\right)^4\approx -7\%

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 亥姆霍茲線圈內部磁場分析
  2. ^ 地磁場磁力儀:亥姆霍茲線圈" by Richard Wotiz 2004
  3. ^ 喬治亞州州立大學Georgia State University)線上物理網頁:Field on Axis of Current Loop. 
  4. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc., pp. 226–227, 1999年, ISBN 978-0-471-30932-1 

外部聯結[编辑]