弗洛凱理論

弗洛凱理論是常微分方程理論的一種，討論有關下列微分方程類型的解答類別，

$\dot{x} = A(t) x$,

其中，A(t)是一週期為T的連續週期函數。

弗洛凱理論的主要定理－弗洛凱定理給出了一般線性系統的每個基本解的正規形式。它給定了一座標轉變y = Q ^{− 1}(t)x，其中Q(t + 2T) = Q(t)，用以來轉變週期系統至有常數及實係數的傳統線性系統。

在固態物理中，其類比的結果(推廣至三維)為布洛赫定理。

結論與應用

量子力学中，含时薛定谔方程为$i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}(t)|\psi(t)\rangle$。 如果哈密顿量$\hat{H}(t)$满足周期性边界条件$\hat{H}(t+T)=\hat{H}(t)$，T = 2π / ω，可以假定含时薛定谔方程的解为$|\psi(t)\rangle=e^{-i\epsilon t}|\phi(t)\rangle$，其中，$|\phi(t)\rangle$应满足$|\phi(t+T)\rangle=|\phi(t)\rangle$。 则原含时薛定谔方程变换为一个新的类似定态的薛定谔方程

$\underbrace {\left( {\hat{H(t)} - i\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)}_{\hat{\mathcal{H}}}\left| {\phi (t)} \right\rangle = \varepsilon \left| {\phi (t)} \right\rangle$

其中$\hat{\mathcal{H}}$为新的Floquet哈密顿量，ε为准能量，$|\phi (t)\rangle$被称为Floquet态。

參考

• Chicone, Carmen. Ordinary Differential Equations with Applications. Springer-Verlag, New York 1999
• Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12, 47-88 (1883).