弗洛凱理論

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

弗洛凱理論常微分方程理論的一種,討論有關下列微分方程類型的解答類別,

\dot{x} = A(t) x,

其中,A(t)是一週期為T的連續週期函數。

弗洛凱理論的主要定理-弗洛凱定理給出了一般線性系統的每個基本解正規形式。它給定了一座標轉變y=Q^{-1}(t)x,其中Q(t+2T)=Q(t),用以來轉變週期系統至有常數及實係數的傳統線性系統。

固態物理中,其類比的結果(推廣至三維)為布洛赫定理


弗洛凱定理[编辑]

X=A(t)x   其中,A(t)是一周期为T的连续周期函数。   弗洛凯理论的主要定理-弗洛凯定理给出了一般线性系统的每个基本解的正规形式。它给定了一座标转变y = Q − 1(t)x,其中Q(t + 2T) = Q(t),用以来转变周期系统至有常数及实系数的传统线性系统。   在固态物理中,其类比的结果(推广至三维)为布洛赫定理。

結論與應用[编辑]

量子力学中,含时薛定谔方程为i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}(t)|\psi(t)\rangle。 如果哈密顿量\hat{H}(t)满足周期性边界条件\hat{H}(t+T)=\hat{H}(t)T=2\pi/\omega,可以假定含时薛定谔方程的解为|\psi(t)\rangle=e^{-i\epsilon t}|\phi(t)\rangle,其中,|\phi(t)\rangle应满足|\phi(t+T)\rangle=|\phi(t)\rangle。 则原含时薛定谔方程变换为一个新的类似定态的薛定谔方程

\underbrace {\left( {\hat{H(t)} - i\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)}_{\hat{\mathcal{H}}}\left| {\phi (t)} \right\rangle  = \varepsilon \left| {\phi (t)} \right\rangle

其中\hat{\mathcal{H}}为新的Floquet哈密顿量,\varepsilon为准能量,|\phi (t)\rangle被称为Floquet态。

參考[编辑]

  • Chicone, Carmen. Ordinary Differential Equations with Applications. Springer-Verlag, New York 1999
  • Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12, 47-88 (1883).