弗洛凱理論

弗洛凱理論（Floquet theory）是常微分方程理論的一種，討論有關下列微分方程類型的解答類別，

${\dot {x}}=A(t)x$,

其中，A(t)是一週期為T的連續週期函數。

弗洛凱理論的主要定理－弗洛凱定理給出了一般線性系統的每個基本解的正規形式。它給定了一座標轉變$y=Q^{-1}(t)x$，其中$Q(t+2T)=Q(t)$，用以來轉變週期系統至有常數及實係數的傳統線性系統。

在固態物理中，其類比的結果(推廣至三維)為布洛赫定理。

弗洛凱定理

X=A（t）x

其中，A(t)是一周期为T的连续周期函数。

弗洛凯理论的主要定理－弗洛凯定理给出了一般线性系统的每个基本解的正规形式。它给定了一座标转变$y=Q^{-1}(t)x$，其中$Q(t+T)=Q(t)$，用以来转变周期系统至有常数及实系数的传统线性系统。

在固态物理中，其类比的结果（推广至三维）为布洛赫定理。

結論與應用

量子力学中，含时薛定谔方程为$i{\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}(t)|\psi (t)\rangle$。 如果哈密顿量${\hat {H}}(t)$满足周期性边界条件${\hat {H}}(t+T)={\hat {H}}(t)$，$T=2\pi /\omega$，可以假定含时薛定谔方程的解为$|\psi (t)\rangle =e^{-i\epsilon t}|\phi (t)\rangle$，其中，$|\phi (t)\rangle$应满足$|\phi (t+T)\rangle =|\phi (t)\rangle$。 则原含时薛定谔方程变换为一个新的类似定态的薛定谔方程

$\underbrace {\left({{\hat {H}}(t)-i{\frac {\partial }{\partial t}}}\right)} _{\hat {\mathcal {H}}}\left|{\phi (t)}\right\rangle =\varepsilon \left|{\phi (t)}\right\rangle$

其中${\hat {\mathcal {H}}}$为新的Floquet哈密顿量，$\varepsilon$为准能量，$|\phi (t)\rangle$被称为Floquet态。

參考

• Chicone, Carmen. Ordinary Differential Equations with Applications. Springer-Verlag, New York 1999
• Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12, 47-88 (1883).
• https://qutip.org/docs/4.1/guide/dynamics/dynamics-floquet.html