当德兰-格拉夫方法

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Dandelin-Gräffe方法是求多項式根的數值方法之一,由幾位18世紀數學家Karl Heinrich Gräffe、Germinal Pierre Dandelin羅巴切夫斯基分別獨立提出。

設欲解的方程為p(x) = (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)

p(-x) = (-1)^n (x+x_1)(x+x_2)...(x+x_n)
p_{2}(x^2) = p(x)p(-x) = (-1)^n(x^2-x_1^2)(x^2-x_2^2)...(x^2-x_n^2)

重複類似的步驟k次,可得以x_1^{2^k},x_2^{2^k}... \,\!為根的方程q,設y=x^{2^k} \,\!

q(y) = y^n + a_1y^{n-1} + ... + a_n

根據韋達定理

a_1 = -(y_1+y_2+...+y_n)
a_2 = y_1 y_2 + y_1 y_3+...+y_{n-1} y_n
...

若經過多次自乘後,這些根相差得足夠大,使得:

a_1 \approx -y_1
a_2 \approx y_1 y_2
...

對每個y_i2^k次根便可求得p(x)的根。

這個方法有缺點包括:

  • 經過數次的步驟,雙倍精確數目可能也不足以儲存要用到的數值,誤差頗大。
  • 如果有複數根或重根就更繁複。

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