离散正弦变换

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離散正弦變換(DST for Discrete Sine Transform)是一種與傅立葉變換相關的變換,類似離散傅立葉變換,但是只用實數矩陣。離散正弦變換相當於長度約為它兩倍,一個實數且奇對稱輸入資料的的離散傅立葉變換的虛數部分(因為一個實奇輸入的傅立葉變換為純虛數奇對稱輸出)。有些變型裡將輸入或輸出移動半個取樣。

一種相關的變換是離散餘弦變換,相當於長度約為它兩倍,實偶函数離散傅立葉變換。參考DCT本文有關邊界條件和不同的DCT和DST關聯的一般討論。

應用[编辑]

離散正弦變換常被用來由譜方法解偏微分方程,這時候離散正弦變換的不同的變數對應著兩端不同的奇/偶邊界條件。

定義[编辑]

形式上,離散正弦變換是一個線性可逆函數F:R^N\rightarrow R^N,其中R實數集,或等價的說是一個N \times N 方陣。離散正弦變換有幾種稍微不同定義的變形,皆根據以下公式之一把N個實數x_0,\ldots ,x_{N-1}變換到另N個實數X_0,\ldots ,X_{N-1}

DST-I[编辑]

X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N+1} (n+1) (k+1) \right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1

一個DST-I矩陣為正交矩陣(差一個係數)。

N=3的實數abc的DST-I變換等價於8點實數0abc0(-c)(-b)(-a)(奇對稱)的DFT轉換,再除2(而DST-II~DST-IV等價於DFT有半個取樣的位移)。

因而DST-I對應的邊界條件是:x_nn = -1奇對稱,也對n = N奇對稱;X_k也類似。

DST-II[编辑]

X_k =
   \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) (k+1)\right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1

DST-III[编辑]

X_k = \frac{(-1)^k}{2} x_{N-1} +
   \sum_{n=0}^{N-2} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N} (n+1) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1

DST-IV[编辑]

X_k =
   \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1

一個DST-IV矩陣為正交矩陣(差一個係數)。

DST V-VIII[编辑]

反變換[编辑]

DST-I的反變換是把DST-I乘以\frac{1}{N+1}。 DST-IV的反變換是把DST-IV乘以\frac{2}{N}。 DST-II的反變換是把DST-III乘以\frac{2}{N},反之亦然。

類似離散傅立葉變換,這些定義前面的歸一係數只是習慣,不同人有不同定義。例如有人在變換前面乘\sqrt{\frac{2}{N}},使反變換和變換在形式上更相似,而不需另外的歸一係數。

計算[编辑]

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  • S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
  • Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/. A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).

外部連結[编辑]