秤球問題

称球问题，是指若在最多3ⁿ − 3/2个球中有一个特殊球的重量与众不同（不知道偏重还是偏轻），而其他球的重量全部相同，则用无砝码的天平称n次可以找出特殊球，并确定特殊球是偏轻还是偏重；如果有3ⁿ − 1/2个球，则同样可以保证找出特殊球，但不一定能确定特殊球是偏轻还是偏重。(n ≥ 2)

以下主要介绍最简单的12个球称3次的版本。

动态称法[编辑]

动态调整称球方案是最常见的处理手法，在各种答案中，下表所列是其中的一种表述：

第一次称球情况		第二次称球情况		第三次称球情况		结论
首先左1、2、3、4 右5、6、7、8	若左重	其次左1、5、9：右2、3、6	若左重	最后左4：右1	若平衡	则6轻
					若右重	则1重
			若平衡	最后左4、8：右1、2	若左重	则4重
					若平衡	则7轻
					若右重	则8轻
			若右重	最后左4、8：右2、5	若左重	则5轻
					若平衡	则3重
					若右重	则2重
	若平衡	其次左9、11：右2、10	若左重	最后左9、10：右1、2	若左重	则9重
					若平衡	则11重
					若右重	则10轻
			若平衡	最后左4：右12	若左重	则12轻
					若右重	则12重
			若右重	最后左9、10：右1、2	若左重	则10重
					若平衡	则11轻
					若右重	则9轻
	若右重	其次左1、5、9：右2、3、6	若左重	最后左8、9：右2、5	若左重	则2轻
					若平衡	则3轻
					若右重	则5重
			若平衡	最后左4、8：右1、2	若左重	则8重
					若平衡	则7重
					若右重	则4轻
			若右重	最后左4：右1	若左重	则1轻
					若平衡	则6重

最后给出的结论，判断依据与下述的固定称法的解释完全一致。

固定称法[编辑]

固定称法方案如下：

第一次称：左盘放置1、2、3、4号球，右盘放置5、6、7、8号球
第二次称：左盘放置1、5、9、11号球，右盘放置2、3、6、10号球
第三次称：左盘放置4、8、9、10号球，右盘放置1、2、5、12号球

按此方案称球，根据天平的状态，可辨别出问题球。判断如下：

若左重、左重、右重，判定是1号球重；若左轻、左轻、右轻，判定是1号球轻；
若左重、右重、右重，判定是2号球重；若左轻、右轻、右轻，判定是2号球轻；
若左重、右重、平衡，判定是3号球重；若左轻、右轻、平衡，判定是3号球轻；
若左重、平衡、左重，判定是4号球重；若左轻、平衡、左轻，判定是4号球轻；
若右重、左重、右重，判定是5号球重；若右轻、左轻、右轻，判定是5号球轻；
若右重、右重、平衡，判定是6号球重；若右轻、右轻、平衡，判定是6号球轻；
若右重、平衡、平衡，判定是7号球重；若右轻、平衡、平衡，判定是7号球轻；
若右重、平衡、左重，判定是8号球重；若右轻、平衡、左轻，判定是8号球轻；
若平衡、左重、左重，判定是9号球重；若平衡、左轻、左轻，判定是9号球轻；
若平衡、右重、左重，判定是10号球重；若平衡、右轻、左轻，判定是10号球轻；
若平衡、左重、平衡，判定是11号球重；若平衡、左轻、平衡，判定是11号球轻；
若平衡、平衡、右重，判定是12号球重；若平衡、平衡、右轻，判定是12号球轻。

在此說明第一種情況（左重、左重、右重）的判斷方法：

第一次左重，划掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次左重，划掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
第一、二次均左重，划掉2、3、5，剩下1、6可疑
第三次右重，划掉6，仅剩1，可判定重。

同理，若左轻、左轻、右轻，判定是1号球轻。其餘依此類推。，

数学方法[编辑]

固定称球方法，可以采用数学方程式来表达： $AX=Y$ ，其中： $A=\left({\begin{matrix}1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&0&0\\1&-1&-1&0&1&-1&0&0&1&-1\\-1&-1&0&1&-1&0&0&1&1&1\\\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0&0\\1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right),$ $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{12}\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

矩阵方程是用天平称球的情况描述，即：左盘总重量—右盘总重量＝差值，下面进一步解释A、X、Y的含义及判定规则。

首先：因为在12个球中，只有1个球与其它球重量不一样，所以在逻辑上使用±1来代表重量差±△X。

其次：A为3行12列矩阵，系数矩阵的第i行第j列元素表示第i次第j号球的位置。1代表小球被放在左盘，-1代表小球被放在右盘，0代表小球不参与称重。

X为12行1列矩阵，表示12个球的重量；
Y为3行1列矩阵，表示3次称球的结果。左盘比右盘重时，用1表示；左右盘平衡时，用0表示；左盘比右盘轻时，用-1表示。

最后：当Y与A的第j列相等时，则判定为第j球重；当Y与A的第j列的负向量相等时，则判定为第j球轻。