秤球

稱球問題，是指若在最多3ⁿ − 3/2個球中有一個特殊球的重量與眾不同（不知道偏重還是偏輕），而其他球的重量全部相同，則用無砝碼的天平稱n次可以找出特殊球，並確定特殊球是偏輕還是偏重；如果有3ⁿ − 1/2個球，則同樣可以保證找出特殊球，但不一定能確定特殊球是偏輕還是偏重。(n ≥ 2)

以下主要介紹最簡單的12個球稱3次的版本。

動態稱法[編輯]

動態調整稱球方案是最常見的處理手法，在各種答案中，下表所列是其中的一種表述：

第一次稱球情況		第二次稱球情況		第三次稱球情況		結論
首先左1、2、3、4 右5、6、7、8	若左重	其次左1、5、9：右2、3、6	若左重	最後左4：右1	若平衡	則6輕
					若右重	則1重
			若平衡	最後左4、8：右1、2	若左重	則4重
					若平衡	則7輕
					若右重	則8輕
			若右重	最後左4、8：右2、5	若左重	則5輕
					若平衡	則3重
					若右重	則2重
	若平衡	其次左9、11：右2、10	若左重	最後左9、10：右1、2	若左重	則9重
					若平衡	則11重
					若右重	則10輕
			若平衡	最後左4：右12	若左重	則12輕
					若右重	則12重
			若右重	最後左9、10：右1、2	若左重	則10重
					若平衡	則11輕
					若右重	則9輕
	若右重	其次左1、5、9：右2、3、6	若左重	最後左8、9：右2、5	若左重	則2輕
					若平衡	則3輕
					若右重	則5重
			若平衡	最後左4、8：右1、2	若左重	則8重
					若平衡	則7重
					若右重	則4輕
			若右重	最後左4：右1	若左重	則1輕
					若平衡	則6重

最後給出的結論，判斷依據與下述的固定稱法的解釋完全一致。

固定稱法[編輯]

固定稱法方案如下：

第一次稱：左盤放置1、2、3、4號球，右盤放置5、6、7、8號球
第二次稱：左盤放置1、5、9、11號球，右盤放置2、3、6、10號球
第三次稱：左盤放置4、8、9、10號球，右盤放置1、2、5、12號球

按此方案稱球，根據天平的狀態，可辨別出問題球。判斷如下：

若左重、左重、右重，判定是1號球重；若左輕、左輕、右輕，判定是1號球輕；
若左重、右重、右重，判定是2號球重；若左輕、右輕、右輕，判定是2號球輕；
若左重、右重、平衡，判定是3號球重；若左輕、右輕、平衡，判定是3號球輕；
若左重、平衡、左重，判定是4號球重；若左輕、平衡、左輕，判定是4號球輕；
若右重、左重、右重，判定是5號球重；若右輕、左輕、右輕，判定是5號球輕；
若右重、右重、平衡，判定是6號球重；若右輕、右輕、平衡，判定是6號球輕；
若右重、平衡、平衡，判定是7號球重；若右輕、平衡、平衡，判定是7號球輕；
若右重、平衡、左重，判定是8號球重；若右輕、平衡、左輕，判定是8號球輕；
若平衡、左重、左重，判定是9號球重；若平衡、左輕、左輕，判定是9號球輕；
若平衡、右重、左重，判定是10號球重；若平衡、右輕、左輕，判定是10號球輕；
若平衡、左重、平衡，判定是11號球重；若平衡、左輕、平衡，判定是11號球輕；
若平衡、平衡、右重，判定是12號球重；若平衡、平衡、右輕，判定是12號球輕。

在此說明第一種情況（左重、左重、右重）的判斷方法：

第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次左重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
第一、二次均左重，劃掉2、3、5，剩下1、6可疑
第三次右重，劃掉6，僅剩1，可判定重。

同理，若左輕、左輕、右輕，判定是1號球輕。其餘依此類推。，

數學方法[編輯]

固定稱球方法，可以採用數學方程式來表達： $AX=Y$ ，其中： $A=\left({\begin{matrix}1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&0&0\\1&-1&-1&0&1&-1&0&0&1&-1\\-1&-1&0&1&-1&0&0&1&1&1\\\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0&0\\1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right),$ $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{12}\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

矩陣方程是用天平稱球的情況描述，即：左盤總重量—右盤總重量＝差值，下面進一步解釋A、X、Y的含義及判定規則。

首先：因為在12個球中，只有1個球與其它球重量不一樣，所以在邏輯上使用±1來代表重量差±△X。

其次：A為3行12列矩陣，係數矩陣的第i行第j列元素表示第i次第j號球的位置。1代表小球被放在左盤，-1代表小球被放在右盤，0代表小球不參與稱重。

X為12行1列矩陣，表示12個球的重量；
Y為3行1列矩陣，表示3次稱球的結果。左盤比右盤重時，用1表示；左右盤平衡時，用0表示；左盤比右盤輕時，用-1表示。

最後：當Y與A的第j列相等時，則判定為第j球重；當Y與A的第j列的負向量相等時，則判定為第j球輕。