罗斯定理

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几何学中,罗斯定理是关于三角形面积的一个定理。给定一个三角形,在它的三边上各取一点,并和对面的顶点相连。三条连线将会在三角形中央围出一个新的小三角形。罗斯定理给出了这个新三角形的面积与三角形边上三个点的位置的关系。罗斯定理可以看成是塞瓦定理的一种推广。

历史[编辑]

Rouths theorem.png

这个定理最早由爱德华·约翰·罗斯于1896年在其著作《论解析静力学及例子》一书的第82页中提出[1]。当 x = y = z = 2时,结论就是所谓的七分三角形

定理描述[编辑]

设有一个三角形ABC,而DEF 分别是三角形的三条边 BCCAAB上的点。如果设 BD = aCE = b AF = c,以及\tfrac{CD}{BD} = x\tfrac{AE}{CE} = y\tfrac{BF}{AF} = z,那么右图中红色的小三角形\scriptstyle PQR面积占三角形ABC面积的比例就是:

\frac{(xyz - 1)^2}{(xz + x + 1)(yx + y + 1)(zy + z + 1)}

这个三角形\scriptstyle PQR是由线段ADBECF围出来的,或者可以看成将三角形ABC沿着BDCE  AF剪裁而剩下的三角形。

xyz=1时,中间的三角形面积为0,也就是说BDCE  AF三线交于一点,这时就得到塞瓦定理。反过来如果BDCE  AF三线交于一点,那么由三角形面积为0可以推出xyz=1,因此得出塞瓦定理的逆定理。

证明[编辑]

设三角形ABC 面积为1。对三角形ABD 以及直线FRC 使用梅涅劳斯定理,得到:

\frac{AF}{FB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DR}{RA} = 1
因此\frac{DR}{RA} = \frac{BF}{FA} \frac{DC}{CB} = \frac{zx}{x+1}
于是三角形ARC 的面积:
S_{ARC} = \frac{AR}{AD} S_{ADC} = \frac{AR}{AD} \frac{DC}{BC} S_{ABC} = \frac{x}{zx+x+1}
同理可得S_{BPA} = \frac{y}{xy+y+1}S_{CQB} = \frac{z}{yz+z+1}

于是三角形PQR 的面积:

\displaystyle S_{PQR} = S_{ABC} - S_{ARC} - S_{BPA} - S_{CQB}
= 1 - \frac{x}{zx+x+1} - \frac{y}{xy+y+1} - \frac{z}{yz+z+1}
=\frac{(xyz - 1)^2}{(xz + x + 1)(yx + y + 1)(zy + z + 1)}.

七分三角形[编辑]

x = y = z = 2时,D、E、F三点便是三角形ABC三条边的三等分点。由罗斯定理可以算出围成的小三角形PQR 的面积是原来三角形ABC 面积的七分之一。简单来说,就是:

如果将三角形的顶点和对边的三等分点连线,那么沿线剪裁后剩下的小三角形的面积是原来的七分之一。

这里所取的三等分点必须是“同向”的,即是说不能有两点同时“更靠近”同一个顶点。

根据R.J. 库克和G.V.伍德的回忆,某次在康奈尔大学的研讨会结束后的晚宴上,有人曾经向物理学家理查德·费曼提出过这个问题。费曼几乎把所有的晚宴时间都花在证明这个命题不成立上面,但最后还是证出它是正确的[2]。因此这个面积为原三角形面积七分之一的三角形有时也被叫作“费曼三角形[3]

参考来源[编辑]

  1. ^ (英文)默里·S. 克拉姆金. Three more proofs of Routh's theorem. Crux Mathematicorum 7 (1981) 199–203. 
  2. ^ R.J. Cook & G.V. Wood (2004), Feynman's Triangle, Mathematical Gazette 88:299–302.
  3. ^ Feyman's Triangle