菲涅耳積分

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S(x)C(x)

菲涅耳積分,常被寫作 S(x)和C(x)。以奧古斯丁·菲涅耳為名。

定義[编辑]

菲涅耳積分可由下面兩個級數求得,對所有x均收斂。

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},
C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.

羊角螺线[编辑]

估計值[编辑]

用來計算Fresnel integrals的扇形路徑

CS的值當變數趨近於無窮大時,可用複變分析的方法求得。用以下這個函數的路徑積分

e^{-z^2}

在複數平面上的一個扇型的邊界,其中下邊繞著正x軸,上半邊是沿著y = x, x ≥ 0的路徑,外圈則是一個半徑為R,中心在原點的弧形。

R趨近於無窮大時,路徑積分沿弧形的部分將趨近於零[1],而實數軸部分的積分將可由高斯積分

 \int_{y-axis}^{} e^{-z^2}dz = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2}dt =\frac{\sqrt{\pi}}{2},

並且經過簡單的計算後,第一象限平分線的那條積分便可以變成菲涅耳積分。

 \int_{slope}^{} exp(-z^2)dz = \int_{0}^{\infty} \exp(-t^2e^{i\pi/2})e^{i\pi/4}dt = 
e^{i\pi/4} (\int_{0}^{\infty} \cos(-z^2)dz+i\int_{0}^{\infty} \sin(-z^2)dz)
\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

相关公式[编辑]

下列一些包含菲涅耳積分的关系式[2]

  •  \int_{0}^{\infty} e^{-at}sin(t^2)= (1/4)*\sqrt(2)*\sqrt(\pi)*(cos((1/4)*a^2)*(1-2*FresnelC((1/2)*a*\sqrt(2)/\sqrt(\pi)))+sin((1/4)*a^2)*(1-2*FresnelS((1/2)*a*\sqrt(2)/\sqrt(Pi))))
  •  \int(sin(ax^2 +2bx+c)dx=\frac{ \sqrt(2)*\sqrt(\pi)*(cos((b^2-a*c)/a)*FresnelS(\sqrt(2)*(a*x+b)/(\sqrt(\pi)*\sqrt(a)))-sin((b^2-a*c)/a)*FresnelC(\sqrt(2)*(a*x+b)/(\sqrt(\pi)*\sqrt(a)))) }{2\sqrt(a)  }
  • \int(FresnelC(t)dt=FresnelC(t)*t-\frac{sin((1/2)*\pi*t^2)}{\pi}
  •  \int(FesnelS(t)dt=FresnelS(t)*t+\frac{cos((1/2)*\pi*t^2)}{\pi}
  •  \frac{d FresnelC(t)}{dt}=cos((1/2)*\pi*t^2)
  •  \frac{d FresnelS(t)}{dt}=sin((1/2)*\pi*t^2)

關聯條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Beatty, Thomas. How to evaluate Fresnel Integrals. FGCU MATH - SUMMER 2013. [27 July 2013]. 
  2. ^ Abromowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions,p303-305, 1972 Natinal Bureau of Standards