菲涅耳積分

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
S(x)C(x)

菲涅耳積分,常被寫作 S(x)和C(x)。以奧古斯丁·菲涅耳為名。

定義[编辑]

菲涅耳積分可由下面兩個級數求得,對所有x均收斂。

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},
C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.

羊角螺线[编辑]

估計值[编辑]

用來計算Fresnel integrals的扇形路徑

CS的值當變數趨近於無窮大時,可用複變分析的方法求得。用以下這個函數的路徑積分

e^{-z^2}

在複數平面上的一個扇型的邊界,其中下邊繞著正x軸,上半邊是沿著y = x, x ≥ 0的路徑,外圈則是一個半徑為R,中心在原點的弧形。

R趨近於無窮大時,路徑積分沿弧形的部分將趨近於零,而實數軸部分的積分將可由高斯積分

 \int_{y-axis}^{} e^{-z^2}dz = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2}dt =\frac{\sqrt{\pi}}{2},

並且經過簡單的計算後,第一象限平分線的那條積分便可以變成菲涅耳積分。

 \int_{slope}^{} exp(-z^2)dz = \int_{0}^{\infty} \exp(-t^2e^{i\pi/2})e^{i\pi/4}dt = 
e^{i\pi/4} (\int_{0}^{\infty} \cos(-z^2)dz+i\int_{0}^{\infty} \sin(-z^2)dz)

關聯條目[编辑]