角度條件

根軌跡圖上的每一點和極點、零點組成向量的量值會滿足量值條件

角度條件（angle condition）是自動控制的根軌跡圖中，有關角度的限制條件，根軌跡圖中的點和閉迴路極點、零點組成向量的角度會滿足角度條件。角度條件和量值條件可以完全確定根軌跡圖。

令系統的特徵方程為$1+{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=0$，而${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}$，可改寫為以下各因式相乘的形式

${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}=K{\frac {(s-a_{1})(s-a_{2})\cdots (s-a_{n})}{(s-b_{1})(s-b_{2})\cdots (s-b_{m})}},$

則角度條件是指

$\angle ({\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s))=\pi +2k\pi$

其中$k$為整數。

也就是說

$\sum _{i=1}^{m}\angle (s-b_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s-a_{i})=\pi +2k\pi$

開迴路零點到$s$點角度的和，減去開迴路極點到$s$點角度的和，除$2\pi$後的餘數需等於$\pi$。

推導

假設。若將控制方程改為極坐標表示

$e^{j2\pi }+{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=0$

${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=-1=e^{j(\pi +2k\pi )}$

其中$k=0,1,2,\ldots$為方程式中的解。將${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)$改寫為各因式相乘的形式

${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}=K{\frac {(s-a_{1})(s-a_{2})\cdots (s-a_{n})}{(s-b_{1})(s-b_{2})\cdots (s-b_{m})}},$

再將因式$(s-a_{p})$及$(s-b_{q})$用向量的形式$A_{p}e^{j\theta _{p}}$及$B_{q}e^{j\varphi _{q}}$表示，因此可以改寫${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)$如下。

${\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}}}$

簡化特徵方程式，

${\begin{aligned}e^{j(\pi +2k\pi )}&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}}}\\[6pt]&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}}}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n}-(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m}))},\end{aligned}}$

因此可以得到角度條件：

$\pi +2k\pi =\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n}-(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})$

其中$k=0,1,2,\ldots$,

$\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}$

為極點1至n的角度，而

$\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{m}$

為零點1至m的角度。

也可以用類似的方式推導量值條件。