谢尔宾斯基数

謝爾賓斯基數是指奇正整數k，使得所有形式如k × 2ⁿ + 1的數均為合數。

1960年謝爾賓斯基證明有無限多個謝爾賓斯基數。

1962年約翰·塞爾弗里奇證明78,557是謝爾賓斯基數，其k × 2ⁿ + 1的數都可被集{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}其中一個元素整除。它是已知最小的謝爾賓斯基數。在所有小于78557的整数中，还有10223、21181、22699、24737、55459和67607六个数不知道是不是谢尔宾斯基数。

一個未解決問題是最小的謝爾賓斯基數是甚麼。有一個分布式計算計劃Seventeen or Bust正嘗試解決這個問題。[1]

Riesel數

Riesel數是奇正整數k使得所有形式如k × 2ⁿ - 1的數均為合成數。

1956年，Hans Riesel證明有無限多個合符這種條件的整數。他找到509203有這樣的性質。現時找到小於10⁶的Riesel數有：

• 509203×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241}
• 762701×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241}
• 777149×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• 790841×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• 992077×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241}

冒號後的質數集表示每個形式如k × 2ⁿ - 1的數都會被該集其中一個數整除。若能找出這樣的集，便能證明一個數是Riesel數。

分佈式網絡計算項目RieselSieve旨在尋找最小的Riesel數，目前已停止運作，顯示k=509203是最小的Riesel數。