霍赫希尔德同调

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数学中,霍赫希尔德同调Hochschild homology)是环上结合代数同调论。对某些函子也有一个霍赫希尔德同调。这是以德国数学家格哈德·霍赫希尔德Gerhard Hochschild)冠名的。

代数的霍赫希尔德同调之定义[编辑]

k 是一个环,A 是一个结合 k-代数,M 是一个 A-双模。我们记 AnAk 上的 n张量积。给出霍赫希尔德同调的链复形

 C_n(A,M) := M \otimes A^{\otimes n}

边缘算子 di 定义为

 d_0(m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = ma_1 \otimes a_2 \cdots \otimes a_n
 d_i(m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_i a_{i+1} \otimes \cdots \otimes a_n
 d_n(m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = a_n m\otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{n-1}

这里对所有 1 ≤ inai 属于 A,而 mM。如果我们令

 b=\sum_{i=0}^n (-1)^i d_i,

b ° b = 0,所以 (Cn(A,M), b) 是一个链复形,叫做霍赫希尔德复形,它的同调是 A 系数取 M霍赫希尔德同调

注释[编辑]

映射 di 是使 Cn(A,M) 成为 k-模范畴中的单纯对象面映射face map),也就是一个函子 Δok-mod,这里 Δ单纯范畴simplicial category)而 k-mod 是 k-模范畴。这里 Δo 是 Δ 的反范畴退化映射degeneracy map)由 si(a0 ⊗ ··· ⊗ an) = a0 ⊗ ··· ai ⊗ 1 ⊗ ai+1 ⊗ ··· ⊗ an 定义。霍赫希尔德同调是这个单纯模的同调。

函子的霍赫希尔德同调[编辑]

单纯圆周 S1 是有限带基点集合范畴 Fin* 中一个单纯对象,即一个函子 ΔoFin*。从而,如果 F 是一个函子 F: Fink-mod,通过将 FS1 复合,我们得到一个单纯模

 \Delta^o \overset{S^1}{\longrightarrow} \text{Fin}_* \overset{F}{\longrightarrow} k\text{-}\operatorname{mod}.

这个单纯模的同调是函子 F 的霍赫希尔德同调。如上交换代数的霍赫希尔德同调是当 FLoday 函子的特例。

Loday 函子[编辑]

有限带基点集合范畴的一个骨架由对象

 n_+ = \{0,1,\dots,n\}

给出,这里 0 是基点,而态射是保持基点的态射。令 A 是一个交换 k-代数,M 是一个对称 A-双模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin* 中的对象由

 n_+ \mapsto M \otimes A^{\otimes n}. \,

给出。态射

f:m_+ \rightarrow n_+

送到态射 f*

 f_*(a_0 \otimes \cdots \otimes a_n) = (b_0 \otimes \cdots \otimes b_m)

这里

 b_j = \prod_{f(i)=j} a_i, \,\, j=0,\dots,n,

bj = 1 如果 f −1(j) = ∅。

代数的霍赫希尔德同调之另一描述[编辑]

一个交换代数 A 的系数取一个对称 A-双模 M 的霍赫希尔德同调是与复合

 \Delta^o \overset{S^1}{\longrightarrow} \text{Fin}_* \overset{\mathcal{L}(A,M)}{\longrightarrow} k\text{-}\operatorname{mod}

相伴的同调,这个定义与上面的定义相同。

参考文献[编辑]

相关条目[编辑]