正定函数

在数学上，正定函数一词可以用来表达许多不同的概念。

在动力系统中

一个实值、连续可微的函数f在原点附近的区域D为正定函数的条件是

• $f(0)=0$
• $f(x)>0$ 对于所有不为零的$x\in D$

若上式中的不等式改为小于，则函数f为负定函数。若以上不等式改为 $\geq$ 或 $\leq$，则函数f为半正定函数或半负定函数。

在复变分析及统计中

令$\mathbb {R}$是实数集合，$\mathbb {C}$为复数集合。

函数$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$称为半正定若针对任意实数x₁, …, x_n the n × n 矩阵

$A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})$

为半正定矩阵。

依照定义，半正定矩阵（像是$A$）会是埃尔米特矩阵，因此f(−x)是f(x))的共轭复数。 若上述的不等号方向相反，函数则为半负定函数，若不等号改为大于或小于，函数则为正定函数或是负定函数。

参考

• Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994