斯图尔特定理

斯图尔特定理

斯图尔特定理（英语：Stewart's Theorem），或译史都华定理、斯特瓦尔特定理、斯图沃特定理，又称为阿波罗尼奥斯定理。它说明： 在三角形$ABC$的边$BC$上任意取一点$P$，则：

${\overline {PC}}\ {\overline {AB}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {AC}}^{2}=({\overline {PB}}+{\overline {PC}})({\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {PC}})$。

该定理由苏格兰数学家马修·斯图尔特在1746年发表。这个定理以他的名字命名，来纪念他的贡献。

证明

设a与p的交点为P。 对互补角APB和APC应用余弦定理，可得：

$b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,$

$c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }.\,$

把第一个等式乘以x，把第二个等式乘以y ：

$xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,$

$yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }.\,$

两式相加，得：

$xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,$

证毕。