數值分析 中，龍格-庫塔法 （英文：Runge-Kutta methods）是用於非線性常微分方程 的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術由數學家卡爾·龍格 和馬丁·威爾海姆·庫塔 於1900年左右發明。
四階龍格-庫塔法 [ 編輯 ] 在各種龍格－庫塔法當中有一個方法十分常用，以至於經常被稱為「RK4」或者就是「龍格－庫塔法」。該方法主要是在已知方程導數和初始值時，利用計算機的仿真應用，省去求解微分方程的複雜過程。
令初值問題 表述如下。
y
′
=
f
(
t
,
y
)
,
y
(
t
0
)
=
y
0
{\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}}
則，對於該問題的RK4由如下方程給出：
y
n
+
1
=
y
n
+
h
6
(
k
1
+
2
k
2
+
2
k
3
+
k
4
)
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})}
其中
k
1
=
f
(
t
n
,
y
n
)
{\displaystyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)}
k
2
=
f
(
t
n
+
h
2
,
y
n
+
h
2
k
1
)
{\displaystyle k_{2}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)}
k
3
=
f
(
t
n
+
h
2
,
y
n
+
h
2
k
2
)
{\displaystyle k_{3}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)}
k
4
=
f
(
t
n
+
h
,
y
n
+
h
k
3
)
{\displaystyle k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)}
這樣，下一個值（y n +1y n h ）和一個估算的斜率的乘積所決定。該斜率是以下斜率的加權平均：
k 1 是時間段開始時的斜率；k 2 是時間段中點的斜率，通過歐拉法 採用斜率k 1 來決定y 在點t n h /2的值；k 3 也是中點的斜率，但是這次採用斜率k 2 決定y 值；k 4 是時間段終點的斜率，其y 值用k 3 決定。當四個斜率取平均時，中點的斜率有更大的權值：
slope
=
k
1
+
2
k
2
+
2
k
3
+
k
4
6
.
{\displaystyle {\mbox{slope}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.}
RK4法是四階方法，也就是說每步的誤差是h 5 階 ，而總積累誤差為h 4 階。
注意上述公式對於純量或者向量函數（y 可以是向量）都適用。
顯式龍格-庫塔法 [ 編輯 ] 顯式龍格-庫塔法是上述RK4法的一個推廣。它由下式給出
y
n
+
1
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
k
i
,
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}
其中
k
1
=
f
(
t
n
,
y
n
)
,
{\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n}),\,}
k
2
=
f
(
t
n
+
c
2
h
,
y
n
+
a
21
h
k
1
)
,
{\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),\,}
k
3
=
f
(
t
n
+
c
3
h
,
y
n
+
a
31
h
k
1
+
a
32
h
k
2
)
,
{\displaystyle k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}hk_{1}+a_{32}hk_{2}),\,}
⋮
{\displaystyle \vdots }
k
s
=
f
(
t
n
+
c
s
h
,
y
n
+
a
s
1
h
k
1
+
a
s
2
h
k
2
+
⋯
+
a
s
,
s
−
1
h
k
s
−
1
)
.
{\displaystyle k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).}
（注意：上述方程在不同著述中有不同但等價的定義）。
要給定一個特定的方法，必須提供整數s （級數），以及係數 a ij j < i ≤ s ）, b i i = 1, 2, ..., s ）和c i i = 2, 3, ..., s ）。這些數據通常排列在一個助記工具中，稱為Butcher tableau （得名自約翰·C·布徹
0
c
2
{\displaystyle c_{2}}
a
21
{\displaystyle a_{21}}
c
3
{\displaystyle c_{3}}
a
31
{\displaystyle a_{31}}
a
32
{\displaystyle a_{32}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋱
{\displaystyle \ddots }
c
s
{\displaystyle c_{s}}
a
s
1
{\displaystyle a_{s1}}
a
s
2
{\displaystyle a_{s2}}
⋯
{\displaystyle \cdots }
a
s
,
s
−
1
{\displaystyle a_{s,s-1}}
b
1
{\displaystyle b_{1}}
b
2
{\displaystyle b_{2}}
⋯
{\displaystyle \cdots }
b
s
−
1
{\displaystyle b_{s-1}}
b
s
{\displaystyle b_{s}}
龍格－庫塔法是自洽的，如果
∑
j
=
1
i
−
1
a
i
j
=
c
i
f
o
r
i
=
2
,
…
,
s
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {for} \ i=2,\ldots ,s.}
如果要求方法的精度為p 階，即截斷誤差為O(h p +1b 1 + b 2 = 1, b 2 c 2 = 1/2, 以及b 2 a 21 = 1/2。
RK4法處於這個框架之內。其表為：
0
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1
0
0
1
1/6
1/3
1/3
1/6
然而，最簡單的龍格－庫塔法是（更早發現的）歐拉方法 ，其公式為
y
n
+
1
=
y
n
+
h
f
(
t
n
,
y
n
)
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}
隱式龍格-庫塔法 [ 編輯 ] 以上提及的顯式龍格－庫塔法一般來講不適用於求解剛性方程 。這是因為顯式龍格－庫塔法的穩定區域被局限在一個特定的區域裏。顯式龍格－庫塔法的這種缺陷使得人們開始研究隱式龍格－庫塔法，一般而言，隱式龍格－庫塔法具有以下形式：
y
n
+
1
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
k
i
,
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}
其中
k
i
=
f
(
t
n
+
c
i
h
,
y
n
+
h
∑
j
=
1
s
a
i
j
k
j
)
,
i
=
1
,
…
,
s
.
{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}
在顯式龍格－庫塔法的框架里，定義參數
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
下三角矩陣 ，而隱式龍格－庫塔法並沒有這個性質，這是兩個方法最直觀的區別：
c
1
a
11
a
12
…
a
1
s
c
2
a
21
a
22
…
a
2
s
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
c
s
a
s
1
a
s
2
…
a
s
s
b
1
b
2
…
b
s
=
c
A
b
T
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}
需要注意的是，與顯式龍格－庫塔法不同，隱式龍格－庫塔法在每一步的計算里需要求解一個線性方程組，這相應的增加了計算的成本。
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems , second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8 .
William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.) 
