伽辽金法

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伽辽金方法(Galerkin method)是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金(俄文:Борис Григорьевич Галёркин 英文:Boris Galerkin)发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解微分方程问题(通过方程所对应泛函变分原理)简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维(多变量)的线性方程组又可以通过线性代数方法简化,从而达到求解微分方程的目的。

伽辽金法采用微分方程对应的弱形式,其原理为通过选取有限多项试函数(又称基函数形函数),将它们叠加,再要求结果在求解域内及边界上的加权积分(权函数为试函数本身)满足原方程,便可以得到一组易于求解的线性代数方程,且自然边界条件能够自动满足。

必须强调指出的是,作为加权余量法的一种试函数选取形式,伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解(仅仅是加权平均满足原方程,并非在每个点上都满足)。

因为伽辽金方法的妙处在于研究它们的抽象方法,所以我们首先给出它们的抽象推导。最后我们再给出应用的例子。


常常用到伽辽金法的领域有:

通过抽象问题的简介[编辑]

一个问题的弱形式[编辑]

我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法,将问题表示成在一个希尔伯特空间上的弱形式,也就是,求解使得对于所有

成立。这里,是一个双线性型表达式,即是一个上的线性形表达式。

伽辽金离散化[编辑]

选取一个n 维子空间,然后求解问题在子空间中的投影:求使得对于所有

我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变,但是求解域改变了。

伽辽金正交性[编辑]

这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为,我们可以取为原方程的一个试矢量。带入并相减,便得到误差的伽辽金正交性关系

这里是真实解和伽辽金方程的解之间的误差。

矩阵形式[编辑]

因为伽辽金方法的目标是将问题简化为线性方程组,我们来构造它的矩阵形式,以便利用计算机进行数值求解。

空间中的一组。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是充分的,也即:求解使得

用上述基矢量表示出,将其代入上面的方程得到

这样我们就得到了上面这组型的线性方程组,式中

矩阵的对称性[编辑]

由于矩阵项的定义,伽辽金方程的系数矩阵对称矩阵充要条件是双线性型表达式是对称的。

伽辽金方法的进一步分析[编辑]

这里,我们只讨论对称双线性型,也即

虽然伽辽金方法并不要求一定对称,但这一限制使得标准理论的应用变得简单的多。而且,非对称情形的分析可能需要用到彼得罗夫-伽辽金方法

下面我们分两步分析上述方法。第一步,论证伽辽金方程在哈达玛意义下是适定的,因此存在唯一解。第二步,讨论伽辽金解的误差大小。

分析过程主要依据双线性型的两个性质:

  • 有界性:对于所有,下式成立
  • 椭圆性:对于所有,下式成立

根据Lax-Milgram定理(参看弱形式),这两条性质保证了原问题的弱形式的适定性。下面章节中的所有范数都是使得上面的不等式成立的范数(这些范数通常称为能量范数)。

伽辽金方程的适定性[编辑]

因为,双线性型的有界性和椭圆性对于也成立。因此,伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。

准最佳近似(Céa引理)[编辑]

真实解和伽辽金解之间的误差有如下估计

上式翻译成文字语言就是:伽辽金解的误差(和真实解的差)能控制在中最优解矢量的误差的倍以下(在量级上)。特别有用的是,从此对误差的估计可以只在空间中进行考虑,而完全不用回到求解的方程。

证明[编辑]

因为证明非常简单,并且是各种伽辽金法的基本原理依据,因此简单介绍如下: 根据双线性型的椭圆性和有界性(下式中的两个不等号),以及伽辽金法的正交性(下式中间的等号),我们对于任意有:

全式除以并对所有可能的下确界得到该引理。

例子[编辑]

  1. 有限元法中应用泊松方程
  2. 应用到共轭梯度法

文献[编辑]

通常,伽辽金法不是文献的单独主题。它们和它们的应用同时讨论。 因此,读者可以参考有限元方法的教科书。

譬如

  • P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978


在这个框架下的Krylov空间法的分析可以在这里找到:

  • Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003


外部链接[编辑]