在概率论 中，全变差距离 （英語：total variation distance ）是概率测度的一种距离。它也是一种统计距离 度量，有时也称为统计距离 （英語：statistical distance ）或变差距离 （英語：variational distance ）。
设
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
σ代数 ，两个概率测度
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
[1]
δ
(
P
,
Q
)
=
sup
A
∈
F
|
P
(
A
)
−
Q
(
A
)
|
.
{\displaystyle \delta (P,Q)=\sup _{A\in {\mathcal {F}}}\left|P(A)-Q(A)\right|.}
粗略地说，这是两个概率分布 在同一事件上取值的最大差值。
与其他距离的关系 [ 编辑 ] 全变差距离通过Pinsker不等式与Kullback-Leibler散度 相联系：
δ
(
P
,
Q
)
≤
1
2
D
K
L
(
P
∥
Q
)
.
{\displaystyle \delta (P,Q)\leq {\sqrt {{\frac {1}{2}}D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}}.}
当样本空间
Ω
{\displaystyle \Omega }
L
1
{\displaystyle L^{1}}
[2]
δ
(
P
,
Q
)
=
1
2
‖
P
−
Q
‖
1
=
1
2
∑
ω
∈
Ω
|
P
(
ω
)
−
Q
(
ω
)
|
.
{\displaystyle \delta (P,Q)={\frac {1}{2}}\|P-Q\|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{\omega \in \Omega }|P(\omega )-Q(\omega )|.}
参考文献 [ 编辑 ]
^ Chatterjee, Sourav. "Distances between probability measures" (PDF). UC Berkeley. Archived from the original (PDF) on July 8, 2008. Retrieved 21 June 2013.
^ David A. Levin, Yuval Peres, Elizabeth L. Wilmer, 'Markov Chains and Mixing Times', 2nd. rev. ed. (AMS, 2017), Proposition 4.2, p. 48.
