总变差

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当绿点遍历整个函数时,绿点在y-轴上的投影红点走过的路程就是该函数的总变分.

数学领域总变差就是一函数其数值变化的差的总和。

定义[编辑]

矢量空间[编辑]

实值函数ƒ定义在区间[ab] ⊂ 'R的总变差是一维参数曲线x → ƒ(x) , x ∈ [a,b]的弧长连续可微函数的总变差,可由如下的积分给出

任意实值或虚值函数ƒ定义在区间[a,b]上的总变差,由

定义。其中P为区间[a,b]中的所有分划.

定义在有界区域上的实值可积函数ƒ总变差,定义为

其中 是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, 本质上确界范数

若ƒ可微,上式可简化为

度量空间[编辑]

在一个度量空间上,集函数,其总变差为:

其中的划分。 如果符号测度,通过汉分解定理可知:

可微定义的证明[编辑]

首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

引理[编辑]

在假设条件下,下面的等式成立:

引理证明[编辑]

高斯散度定理. 将代入,可得

由于在的边界上,从而

注意到代入上式,移项即得

.

如果函数的总变差有限,则称函数有界变差函数.

参阅[编辑]

外部链接[编辑]

理论[编辑]

单变量

多变量

测度论

概率论

应用[编辑]